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 par une relation, du reste, unique. En effet soient 



les équations des m asymptotes d'un lieu du degré m, l'équation de ce lieu 

 pourra se mettre sous la forme 



{j — a,x — b,)...{j~ a,„x — b,„) + x""-"^ (f,n- ^[i,-^-\~ . . . = o; 



si l'on y remplace y par a, x -t- è, , on tombera en général sur une équation 

 en X de degré /n — 2 et le résidu relatif à l'asymptote j =■ UiX -\- b^ aura 

 dans ce cas une valeur quelconque. Pour que ce résidu fût nul, il faudrait 



que a^ fût racine de (fm-2 ( '» ~ ) =^^- 



» Si l'on voulait que le résidu relatif à jr = 02^+ b.^ fût aussi nul, il 

 faudrait de même assujettir les coefficients de l'équation du lieu à la seconde 

 condition ^m-ii^, (^2) = o. Si l'on voulait que les résidus relatifs à m — 2 

 asymptotes fussent en même temps nuls, il faudrait établir entre les coeffi- 

 cients m — 2 relations qui assujettiraient la fonction ({1^-2 (i^ -) à se con- 

 fondre, à un facteur constant près, avec 



(.„_„,)(^_„.)...(i_..). 



On pourrait faire en sorte que le résidu relatif à l'une des deux dernières 

 asymptotes s'annulât encore, en égalant à zéro ce facteur constant; mais 

 on ne pourrait plus alors disposer du résidu relatif à la dernière asymptote : 

 il serait nul de lui-même. 



» Ainsi : Les résidus relatifs aux m asymploles d'un lieu du degré m sont tou- 

 jours liés entre eux par une relation telle, que si m — 1 d'entre eux sont nuls, le 

 dernier l'est également et cette relation est la seule qui existe généralement. 



» Conclusion. — Lorsqu'un lieu de degré m dégénère en un système de 



m droites, il présente '^^ points doubles et les coefficients de son 



équation satisfont à autant de conditions particulières. 



» m — I de ces conditions expriment que les m résidus relatifs aux 

 asymptotes sont nuls, puisqu'ils le sont en effet. 



» Si ces m — i conditions cessaient d'être satisfaites, le lieu redevien- 



,1 .11 I 1 ("î — 1){"* — 2) ... 

 drait irréductible et chacune des^ ^ conditions restantes corres- 

 pondrait toujours à la présence d'un point double. Ainsi le nombre maxi- 



