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 mum de points doubles d'un lieu irréductible de degré m est 



(m — i){m~-2.) 

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» C'est en effet la formule à laquelle Rieraann était arrivé; la démon- 

 stration qu'il en donne n'avait pas besoin de vérification, mais il est remar. 

 quable que la théorie des périodes, traitée par la méthode des conjuguées, 

 y conduise si naturellement. 



, . , -111' ("' — 1)("2 — 2) -, 

 » Le nombre maximum des pomts doubles étant ^ ■■> u en 



résulte que le nombre total des périodes ultra-cycliques est [m — i)(/« — 2). 

 D'un autre côté, le nombre des périodes cycliques est m — i ; par consé- 

 quent le nombre total des périodes est [m — iY; c'est-à-dire que la for- 

 mule donnée par M. Jordan n'était pas, comme il semblait le craindre, 

 susceptible de réduction. Je suis heureux de le constater, parce que c'est 

 autant de repris aux Allemands. 



» Cela posé, la solution du problème de la classification des quadra- 

 trices des courbes algébriques est maintenant complète. 



» Les courbes de degré m quarrables algébriquement sont celles qui ont 

 (ffl — i)(wi — 2) pQ-jjjg doubles et que leurs asymptotes coupent toutes en 



trois points situés à l'infini. 



» Cette théorie, appliquée à l'équation générale du troisième degré, 

 montre qu'en dehors du système de trois droites et des courbes parabo- 

 liques, la seule courbe de ce degré quarrable algébriquement est 



1= — v/ — — ' 



ini y X — 



dont l'aire s'exprime en effet par 



-^ — -, \I[x + im][x— m). 



» Les courbes de degré m quarrables au moyen des fonctions circulaires 



seulement sont celles qui ont ~ — 'il"'~ ^) points doubles. Ce sont celles 



que M. Hermite appelle unicursales; leurs quadratrices ont m — i périodes 

 cycliques au plus. 



M Celles qui ont ~ ')^"' — zl _ , points doubles sont quarrables par 



les intégrales elliptiques, etc. 



» Cette théorie est, comme on voit, plus complète à la fois que celle de 



