(95^ ) 

 » Je ne connais pas assez les cyclones terrestres pour pouvoir y suivre 

 l'application de ce raisonnement, mais il me semble impossible qu'ils y 

 échappent et qu'ils puissent coexister sans être séparés par de grands inter- 

 valles de calme, ou par des tourbillons tournant en sens contraire. C'est 

 ainsi que deux roues d'engrenage ne peuvent tourner dans le même sens 

 qu'à la condition d'être complètement indépendantes l'une de l'autre ou 

 d'être reliées par une troisième roue tournant en sens inverse. » 



ANALYSE. — Mémoire sur les substitutions ; par M. C. Jordan. 



« I. Nous avons démontré, dans un précédent Mémoire {Journal de 

 Liouville, t. XVI), que le degré d'un groupe primitif G, ne renfermant pas 

 le groupe alterné, mais contenant une substitution donnée A, qui déplace 

 N lettres, ne saurait dépasser une certaine limite L = N -+- M. La quantité 

 M est une fonction F (N) du nombre N, et nous avons donné une formule 

 récurrente qui peut servir à la déterminer. Mais la limite ainsi trouvée est 

 trop élevée, et il conviendra, dans chaque cas, de recourir, pour la res- 

 serrer, à des considérations spéciales. 



» Nous examinons aujourd'hui le cas où l'ordre de A est un nombre 

 premier /3. Tous les autres cas peuvent se ramener à celui-là ; car une sub- 

 stitution quelconque, élevée à une puissance convenable, donne une sub- 

 stitution d'ordre premier. 



» Nous arrivons à ce résultat remarquable qu'on ptut assigner à M une 

 limite qui ne dépend pas du nombre p, mais seulement du nombre des cycles 

 de A. Nous démontrons, en effet, qu'on peut déterminer deux fonctions 

 de q, o [q) etf{q), jouissant de la propriété suivante : 



» Le degré d'un groupe primitif G, ne renfermant pas le groupe alterné, 

 mais contenant une substitution A d'ordre premier p etàq cycles, ne peut dépas- 

 ser pq -h (p{q), siVou a p>J [q). 



» Donc en appelant S {q) la plus grande des quantités ç (^), F {2q), 

 F(3<7),..., F[œ(7)9], on pourra prendre #(9) pour limite supérieure de 

 la quantité M = L — pq. 



» La proposition précédente, dans le cas où 9 = i, découle presque im- 

 médiatement comme corollaire du théorème fondamental démontré par 

 M. Sylow dans son récent et beau Mémoire {Matliematisclie Jnnalen, t. V). 

 On peut la démontrer par des procédés analogues pour ç = 2, 3, 4» 5,.... 

 Nous avons reconnu de cette manière que, si q ne surpasse pas 5, on pourra 

 poser 



9 ('/)='/+ ■' J\'l) = 1- 



