( 953 ) 



» Four généraliser la démonstration, nous nous appuyons sur le leinme 

 suivant (§1 de notre Mémoire) : 



M On pourra déterminer dans G une suite A,B, C,... de substitutions semblables 

 à A, et dont chacune déplace quelqu'une des lettres que les précédentes laissaient 

 immobiles; et si p^ q^ on pourra déterminer celte suite de telle sorte que chacune 

 de ses substitutions successives ne contienne dans aucun de ses cy^c les plus d'une 

 lettre nouvelle. 



» Cela posé, nous examinons successivement les différents cas qui 

 peuvent se présenter, et nous établissons des formules récurrentes pour 



lier 9 (?) «^/('Z) à ?(? - 0v..,/(7 - O,- (§§ H à VI). 



» De la discussion de ces formules (§ Vlll), nous déduisons les inéga- 

 lités suivantes : 



K désignant la plus grande des deux quantités 



j^çlog^ + </ + i, y</. 



» II. Les considérations précédentes permettent d'assigner une limite 

 nouvelle et très-simple à la transitivité des groupes qui ne contiennent pas 

 le groupe alterné. On en déduit, en effet, entre autres théorèmes, le sui- 

 vant (§ I de notre Mémoire) : 



» Soit p un nombre premier impair. Un groupe de degré p -h k ne pourra 

 être plus de k fois transitif, si A\> 2, « moins de contenir le gtoupe alterné, 

 rfi » Une analyse plus difficile (§§ II et III) conduit à cet autre théorème 

 plus général : 



» Soient p un nombre premier impair, q un entier premier à p et contenu 

 entre p"" et p'"'*'' . Un groupe de degré p"q 4- k [ne contenant pas le groupe al- 

 terné) ne pourra être plus de k fois transitif, à moins qu'on n'ait A <; 5 ou k^q, 

 ou enfin qu'il n'existe un groupe contenu dans le groupe linéaire de degré p'"^", 

 et composé avec un groupe isomorphe au groupe alterné de degré k. 



» En discutant cette dernière condition (§ IV), on obtient l'inégalité sui- 

 vante : 



m + nz^k — T-^ 6. 



< 



loga 



» On voit immédiatement comment ces théorèmes peuvent être appli- 

 qués. Cherchons, par exemple, combien de fois un groupe de degré loo 



