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» L'emploi des mêmes symboles permet de réunir toutes les proposi- 

 tions de la théorie des caractéristiques dans les coniques et les surfaces du 

 second ordre de la manière suivante : 



» i" Coniques dans le plan. — Théorème I. Pour les coniques dans le plan, 

 toute condition multiple d'ordre n peut être caractérisée par un polynôme homo- 

 gène et de degré n, à deux variables p, </, nommé module. Si l'on remplace, dans 

 ce polynôme, chaque symbole {p'd'^~') par le nombre des coniques qui passent 

 en i points, touchent n — i droites et satisfont à ime autre condition multiple, 

 d'ordre 5 — n, le résultat de cette substitution est le nombre des coniques qui satis- 

 font à ces deux conditions multiples. 



» On doit remarquer que, si n dépasse 2, les coefficients du module ren- 

 ferment des arbitraires, grâce auxquelles on peut réduire ce module à 

 trois termes si n est égal à 3, et à deux termes si tt est égal à 4- 



» Théorème II. Le module d'une condition composée est le produit des mo- 

 dules des conditions composantes . Et, en particulier, le nombre des coniques qui 

 satisfont à des conditions, dont la somme des ordres de multiplicité est égale à 5, 

 est représenté par le produit symbolique des modules de ces conditions, dans lequel 

 chaque symbole [p'(P~') est remplacé par le nombre des coniques qui passent 

 en i points et touchent 5 — i droites. 



» Exemple: Soit la condition double de toucher deux fois une conique. Le 

 module de cette condition est (Chasles, Comptes rendus, t. LIX, p. 352) : 



m^ = - ( 2/>^ — pd) + d^ . 



Soit aussi la condition triple de surosculer une conique. Le module de cette 

 condition est (Chasles, loc, cit., p. 356) 



7^3 = - [1 p^ — p'^ d) -+- pd^. 



Le nombre des coniques qui satisfont à ces deux conditions est 



m„m3 = p^ — p*d + jp'd^ — p^d^ H- pd* = 6, 



à cause des relations 



p' = i, p'd = pd*=2, p' d^ = p'' d' = ^. 



)) 2° Surfaces du second ordre. — Théorème III, Toute condition mul- 

 tiple d'ordre n peut être caractérisée par un polynôme homogène et de degré n à 

 trois variables p,d, P, nommé module. Si l'on remplace dans ce polynôme cliaque 

 symbole [p^d^V^'^~^~^'>\ par le nombre des surfaces qui passent en i points ^ tou- 



