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 M Si /", = o, fn = o,...,y,„ = o sont m équations renfermant n variables 

 indépendantes «y,, q.^,. . ., q,„ el les dérivées partielles /?,, p.,,- ■ ■ , p,n |>rises 

 par rapport à ces variables, d'une fonction z, qui d'ailleurs n'entre pas 

 dans ces équations, pour que ces équations admettent des solutions com- 

 munes, on sait que, en posant 



^'' \Ji^J'^)-Zé \dq, dp, dpu dq, ) ' 



les fonctions/,, yj, .. .,y^„ doivent satisfaire, prises deux à deux, à des 

 conditions de la forme 



conditions qui doivent être satisfaites soit identiquement, soit en vertu 

 des équations proposées, soit enfin en vertu de relations ultérieurement 

 établies entre les variables p, , po, . . . , p„, 7, , . . . , 7,,. Dans ce dernier cas, 

 on adjoint l'équation (2) aux proposées, et l'on soumet le nouveau sys- 

 tème aux mêmes opérations que le premier, en opérant comme précédem- 

 ment pour toute condition qui n'est pas immédiatement satisfaite, et l'on 

 continue ainsi jusqu'à ce que l'on arrive à un système de /n' équations 

 satisfaisant aux conditions d'intégrabilité. Alors, si l'on a m"2n, il existe 

 des solutions communes; au contraire, le problème est impossible si l'on 

 a ni >> n, et il suit de là que l'on peut arrêter les calculs lorsque le nombre 

 des équations égale celui des variables. 



» Mais, pour décider de la possibilité ou de l'impossibilité du problème, 

 il ne faut conserver que des équations réellement distinctes, et, pour 

 cela, il im|)orfe de connaître les relations qui existent a priori entre les 

 fonctions diverses que l'on obtient en effectuant l'opération (i), soit avec 

 les fonctions proposées, soit avec celles qui résultent déjà de cette opé- 

 ration. 



» Ces relations sont remarquables et nombreuses, et les résultats aux- 

 quels je suis parvenu sont absolument indépendants de toute hypothèse 

 particulière sur la forme des fonctions. 



» J'appelle fonctions complexes celles qu on déduit des fonctions pro- 

 poséesy,,y2»- • -1 /în 3U moyen de l'opération (i), et, parmi ces fonctions 

 complexes, je distingue, sous le nom de fonctions canoniques, celles qui 

 sont formées par des combinaisons successives de fonctions simples y, , 



1) Cela posé, eu partant d'un leuime dû à Jacobi, je démontre d'abord 



