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que toute fonclion complexe peut se développer linéairement en fonctions 

 canoniques; je donne la loi générale de ce développement, et, de l'étude 

 attentive de cette loi, je déduis quelques théorèmes généraux nécessaires 

 pour la suite de ce travail. 



» D'après ce qui précède, il suffit donc de considérer les fonctions 

 canoniques; mais elles ne sont pas toutes distinctes, et les relations qu'elles 

 présentent peuvent se grouper en deux catégories. Les premières sont 

 déduites de la formule identique 



(3) (y, tf) + (|,9)=:o, 



où 9 et ij; sont des fonctions quelconques, simples ou complexes, des va- 

 riables ^,, /jj,- • • 1 p,n <ln-'--, 7"- Quant aux dernières, si l'on représente 

 par le symbole (9, <}, 6) le résultat de l'opération (i) appliqué au fonc- 

 tions cp et (j;, puis à la fonction obtenue et à 5, qui est une fonction analogue 

 aux précédentes, elles seront fournies par l'identité 



(4) {ç,^,6) + {9,',,^) + {^,e,o) = o, 



qui constitue précisément le lemme de Jacobi, auquel nous faisions précé- 

 demment allusion. 



» En remplaçant, dans les formules (3) et (4), les lettres o, ij;, par des 

 fonctions quelconques, simples ou complexes, et développant tous les 

 termes, on obtiendra, toutes les fois que les résultats ne seront pas iden- 

 tiques, des relations entre des fonctions canoniques. 



» Je démontre alors que l'on a toutes les relations que peuvent donner 

 ces formules, en supposant que les fonctions qui y entrent soient toutes 

 canoniques; que les relations que peut donner la formule (4) ne sont dis- 

 tinctes de celles fournies par la formule (3) que si aucune des fonctions ç, 

 iji, Q n'est simple; enfin, que l'on a toutes les relations que peut donner 

 la formule (3), en supposant que l'une des fonctions qui y entrent soit 

 simple. 



» Si aucune de ces dernières relations n'était identique, leur nombre 

 serait précisément égal à celui des fonctions canoniques, et, par suite, les 

 fonctions distinctes que l'on pourrait généralement déduire des fonctions 

 données/,, /o,. .., /,„, par l'opération (1), formeraient un cycle fermé; 

 mais il n'en est rien, et je démontre qu'il est des fonctions canoniques, 

 dont je donne la forme générale, qui n'entrent dans aucune relation, et 

 qui, par suite, sont certainement distinctes. Comme d'ailleurs on peut 

 composer indéfiniment de ces fonctions, il résulte que le nombre des fonc- 



