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GÉOMÉTRIE. — Propriétés relatives aux déplacements d'un corps 

 assujetti à quatre conditions. Note de M. Ribaucour, présentée 

 par M. O. Bonnet. 



« Pendant le déplacement d'un corps assujetti à cinq conditions, toute 

 droite normale à la trajectoire d'un de ses points est aussi normale aux 

 courbes décrites par ses autres points. A chaque instant, l'ensemble des 

 droites du corps qui jouissent de cette propriété forme un complexe du 

 premier ordre, bien connu depuis les travaux de MM. Chasles, Plûcker et 

 Mannheim. 



» Je me propose d'étudier dans cette Note un complexe analogue que 

 l'on rencontre lorsque l'on considèie les déplacements d'un corps assu- 

 jetti à quatre conditions seulement. 



» M. Mannheim, le premier, a étudié ce mode de déplacements [Mé- 

 nioires des Savants étrangers, t. XX) et a démontré que les normales aux 

 surfaces trajectoires des points, ainsi que les normales aux surfaces enveloppes 

 de surfaces, rencontrent toutes deux mêmes droites D, A. Il pourra paraître in- 

 téressant de retrouver cette importante proposition par la théorie des sur- 

 faces; aussi l'établirai-je en passant. 



» Si l'on fait prendre au corps toutes les positions infiniment voisines 

 d-'uue position déterminée, une droite quelconque engendre un pinceau. 

 Parmi les pinceaux ainsi engendrés, il y en a qui sont des pinceaux de 

 normales à une famille de surfaces. Les droites qui engendrent ces [)inceaux 

 particuliers appartiennent à un conq)iexe du premier ordre, qu'on étudie 

 facilement ainsi. 



» Rapportons tous les points du corps à un trièdre trirectangle OX,, 

 OY|, OZ, qui lui est invariablement lié. La faceOX,Y, enveloppe une 

 surface (E) qu'elle touche en E et sur laquelle on peut toujours tracer un 

 réseau octogonal («, v) dont les tangentes EX, EY sont parallèles à OX,, 

 OY,. Désignons par a, /3 les coordonnées de O par rapi^ort à EX, EY et 

 soit EZ la normale en E à (E). Les coordonnées d'un point quelconque M 

 du corps par rapport à E sont ^, yj, Ç; elles ne diffèrent que par des con- 

 stantes des coordonnées de O. Menons par M une droite déterminée par 

 les cosinus a, h, c des angles qu'elle fait avec les axes. Portant, à partir de 

 M, luie longueur variable./, exprimant que le lieu de l'extrémité peut être 

 octogonal aux droites données, je trouve, à l'aide des éléments du réseau 



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