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» Jlj' a dans chaque plan une droite que j'appellerai caracléristique^ telle i 

 que les normales au plan qui la rencontrent appartiennent au complexe. 



» Le lieu des foyers de plans parallèles est une droite qu'on peut appeler 

 V adjointe des plans; elle est toujours parallèle à la droite 



A + VZ — Y(PQ-(-RS) _ B + UZ — X(RS + PQ) _ YU — XV + C 

 U ~ ^^' ~ PQ + RS ' 



qui est le lieu des foyers des plans qui lui sont perpendiculaires. Cette droite est 

 Va.xe du complexe. 



Cet axe fait avec EX, EY, EZ des angles dont les cosinus sont propor- 

 tionnels à U, V et PQ + RS, c'est-à-dire aux valeurs sphériques des pin- 

 ceaux engendrés par OX,, OY,, OZ,. Il en résulte que l'axe est de toutes 

 les droites du CQips celle qui donne naissance au pinceau de valeur spitérique 

 maximum ; toute droite perpendiculaire à l'axe décrit un pinceau de valeur 

 sphérique nulle. 



» En cherchant le foyer du plan XEY et le point où il est rencontré par 

 l'axe, on trouve que la perpendiculaire abaissée du foyer d'un plan sur la 

 caractéristique de ce plan rencontre l'axe. 



» On peut midtiplier les propositions; nous citerons seulement les sui- 

 vantes : 



)) Si trois droites d'un corps déforme invariable appartiennent chacune à un 

 pinceau de normales, toutes les génératrices du même système, sur l' hjperboloide 

 quelles déterminent, jouissent de la n^éme propriété. 



» Si quatre droites d'un corps appât tiennent chacune à tni pinceau de nor- 

 males et que l'on construise les deux droites qui les rencontrent, toute droite 

 rencontrant les deux droites ainsi déterminées appartient ù un pinceau de nor- 

 males. 



)> Si les arêtes d'un trièdre appartiennent respectivement à un pinceau de 

 normales, toute droite passant par le sommet de ce trièdre jouit de la même 

 propriété. 



» Il est important de montrer comment le complexe dont nous nous 

 occupons est lié aux droites D, A, qui entrent dans l'énoncé du théorème 

 de M. Mannheim. 



» Les équations de la normale à la surface décrite par le point M sont 



