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 sont égales entre elles. Si l'on désigne par pdt leur valeur, on aura par le 

 moyen des formules (8), 



i.r'dx"-{-y'dj"-^z'ih"=:i{—elp -hpdt), x" dx' -\- y" df + z'Vz' = -i- (— dp — pdt), 



[lS)\^"dx-{-y"df-^z"dz=\[—dp'+pdt), xdx"-^ydy' -\-zdz" = \{—dp' — pdl), 



( X dx' + y dy' 4- s dz' = i (— dp" + pdt), x' dx + y' dy +z' dzz=\ {—dp"— p dt). 



» La quantité auxiliaire p que nous introduisons n'est autre chose que 

 celle qui est désignée par — -^dans le Mémoire de Lagrange; il est évi- 

 dent que cette quantité peut être exprimée en fonction des vitesses u, u', 

 u", des dislances r, r', r" et de leurs différentielles dr, dr', dr". En effet, 

 considérons quatre directions respectivement parallèles à celles des rayons 

 r, r' et des vitesses m, u'; soient L, M, N les cosinus des angles formés par 

 la direction de r' avec les directions de m, m', r; L,, M,, N, les cosinus 

 des angles formés par les directions de u' et r, de u et r, de u et :/. On 

 aura entre ces six cosinus la relation connue 



1 I _ (L2+ M^ + N»+ L? ^- M^ + N?) + (L=LÎ + M=MJ+ N^NJ) 

 (,6) + 2(L,MN + M,NL + N, LM+L,M,N,) 



( - 2(LL, MM, -hMM,NN,4-NN,LL,)=o. 



On a d'ailleurs, par les formules précédentes, 



. ir'udt u' de rr' 



^'^ L,= '"-f, M.= 4, N. = - "'^""7""' - 



' ira' dt ' udt 2 un' 



n Faisons, pour abréger, avec Lagrange, 



„'2 _^ „"= _ „' «"= + ,/» —l,'' , H' -4- h'' — u'" 



(,8) = ^, = ^>, 



d'où 



(19) u^=v'-i-i'", iP=v"+u, u"'=v + v'. 



