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 l'équation (i6) deviendra, après la substitution des valeurs {17), 



(21) j y^ dt'- ) ^^ ' 



\ 4- \6{pp'-h p'p" -^ P"p) {vv'-+- v'v"-+- v"i') = o; 



c'est précisément l'équation (N) de Lagrange. Si l'on suppose que n^, n'^, 

 ti"',y soient remplacées par leurs valeurs tirées des équations (12), la 

 quantité auxiliaire p ne dépendra que des distances /', r', /" et de leurs 

 différentielles du premier et du deuxième ordre. 



» 4. Puisque l'on a 



[xdx'— oc'dx) + {jdf — j'dy) + {zdz' — z'dz) = pàt, 

 il s'ensuit par la différentialion 



[xd-x'- x'd\T) -h [fd-y- fd-j) -+- {zd'z' - z'd'z) = dpdt, 



et, si l'on élimine les différentielles secondes des coordonnées au moyen des 

 équations (3) et de celles qui s'en déduisent par le changement de x en j- 

 et en z, on aura 



(22) ^-i- A/)7 + Bp'7'+ C/)"(/"= o; 



cette équation n'est autre que l'équation (H) de Lagrange, en tenant compte 

 du changement de notation. 



» 5. Revenons maintenant aux équations (4) : on a identiquement 



{y(lz — Z(lj-){ y' dz' — z <■//') -ir [z dx — x dz) [ z' dx' — x' dz') + [x dy — y dx) [x' dj ' —fdx') 

 = [xx' -^yy' -k- zz ){dxdx' -\- dy dy' + dzdz') — (xdjc' -\-ydy' -\- zdz') [.v' dx -\- y' dy -h z' dz) , 



et cette formule subsiste quand on écrit x\ y\ z' ou x", j'\ z" au lieu de 

 X, J", z ou bien x" , j'\ z" ou x, j, z au lieu de x', j\ z'. D'après cela, 



si l'on fait 



a-+b^- + c- = k-, 



et que l'on ajoute les équations (4), après les avoir élevées au carré, on 

 aura, en faisant usage de la précédente formule, ainsi que des formules (2), 



(5), (i5)et(i8) 



lr.[-"=-K^)>^.[---îmi 



('3. .l[..„"-^(^-i?)>f,[,.-i(^)] 

 ce qui est l'équation (H) de Lagrange. 



