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» Supposons que l'on différentie l'équation (aS), ce qui fera disparaître 



l'arbitraire h, et que, de l'équation résultante, on tire la valeur de p -j pour 



la substituer dans l'équation (26). Alors, comme lî^, iP, 11!'- représentent 

 les valeurs fournies par les équations (i3), les équations (6), (aS) et (26), 

 qui sont toutes du troisième ordre et ne renferment aucune arbitraire, 

 constitueront, d'après M. Hesse, le système différentiel duquel dépendent 

 les distances /•, r', /' ", quand on ne fait pas intervenir les principes des 

 forces vives et des aires. Enfin si, des mêmes équations (6), (25) et (26), 

 on tire les valeurs de r/(«°), d{u'-), d{n"'-) pour les porter dans l'une 

 des équations (24), celle-ci donnera, d'après le même géomètre, une va- 

 leur de p qui sera seulement du deuxième ordre; en portant cette valeur 

 dans ré(piation (aS) et enjoignant ensuite cette équation aux équations 

 (r4) et (26), on obtiendra un système composé de deux équations du 

 deuxième ordre et d'une du troisième ordre, dans lequel figureront les 

 deux constantes arbitraires y^et k. 



» Telle est la solution que M. Hesse propose de substituer à celle 

 de Lagrange, solution qui serait évidemment beaucoup plus simple 

 que celle de l'illustre auteur; mais il n'est pas difficile de se con- 

 vaincre de l'inexactitude des résultats obtenus par M. Hesse, ou au 

 moins de sa conclusion. Effectivement l'équation (26), après qu'on en a 



éliminé (5 -j par l'équation (aS) différentiée, n'est pas autre chose que 



l'équation (6) multipliée par le facteur t" + ~5" ~*~ TT' '^^ h'o\s équations 



du troisième ordre qui composent le premier système de M. Hesse ne sont 

 donc pas distinctes. Le deuxième système du même géomètre ne saurait, 

 en conséquence, avoir d'existence réelle, puisque les équations du premier 

 système sont impropres à fournir les valeurs des différentielles du troi- 

 sième ordre, ou, ce qui revient au même, les valeurs des différentielles 

 d{ii^), d{u''^), d{u"'^). On ne saurait se dispenser, dans la recherche dont 

 nous nous occupons, de tenir compte de l'équation (21), comme Lagrange 

 a eu soin de le faire. 



» Les réflexions qui précèdent ont été l'objet d'une Communication 

 verbale que j'ai eu l'honneur de faire récemment au Bureau des Longi- 

 tudes; la théorie qu'elles concernent a une si grande importance, que j'ai 

 jugé utile de les présenter à l'Académie, en leur donnant un certain déve- 

 loppement. » 



C. R., 1873, !<"• Semestre. (T. LXXVI, No 26.) 202 



