250 SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS 



Voici celle des impairs : 



1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, elc. 



Maintenant je dis que le quarré 



de un est 1 



de deux 1+3 = 4 



de trois ? 1 +3 + 5 = 9 



de quatre 1 + 3 + 5 + 7= 16 



et ainsi de suite indéfiniment. 



Démonstration. 



Observons d'abord que les nombres impairs forment une 

 progression arithmétique ou par différence , dont le premier 

 terme est 1 et la raison 2 ; tandis que le dernier n est exprime 

 par 1 + ( n — 1)2. Ajoutant le premier avec le dernier, 

 il viendra 2 + («— l)2 = 2+2n — 2 = 2«: or, 

 on sait que la somme des termes d'une progression arithmé- 

 tique, est égale à celle des extrêmes multipliée par la moitié 

 du nombre des termes; donc en appelant s la somme des n , 

 premiers termes de la suite des impairs, on aura s = 2 n X 



— = n 2 . Ce qui nous apprend que la sommme des n pre- 

 miers termes de la suite des impairs, est précisément égale 

 à m. Il en résulte que le quarré d'un nombre entier quelcon- 

 que n s'obtiendra par la réunion de ces n premiers termes. 



DEUXIÈME PROPRIÉTÉ. 



Pour avoir les cubes des termes de la suite naturelle des 



