252 Slin QUELQUES PROPRIÉTÉS 



Démonstration. 



Il reste à faire voir la généralité de notre assertion. Pour 

 cela, si Ton représente par n le nombre des sommes ou des 

 progressions partielles déjà formées successivement, on verra 

 que le coefficient de la raison 2, dans le premier terme de la 

 progression partielle suivante ne sera autre chose que la 

 somme des n premiers termes de la suite naturelle des nom- 



, , , n , 



bres ou ( 1 + n ) — ; de sorte que ce premier terme aura 



n 

 pour expression 1 + ( 1 + n ) — - x 2. Or le coefficient de 



la raison dans le dernier terme de cette même progression 

 sera constamment égal à celui du premier augmenté d'un 

 nombre n d'unités; c'est pourquoi ce dernier terme sera 



exprimé par 1 + | ( 1 4-n ) — - -+- n ] 2. Cela posé, les ter- 

 mes de la progression partielle dont il s'agit, seront au nom- 

 bre de n -+- 1 ; en sorte que la somme de ces termes se 

 présentera sous la forme ci après : 



[l+(l+«)|+2 + l+(|l+«)| + «)2] ^tj 

 = [ ( 1 + n + n" ) + 1 + ( n + n} + 2 n ) ] ^-±J 



= [24-*n4-2#i t ] — J- 



= [ 1 + 2 n+n*]{ n + 1). 

 = (l + n) s (" + l) 

 = (1+B)'. 



Donc en effet, le cube d'un nombre appartenant à la suite 

 naturelle sera toujours égale à la somme des (I -\- n) termes 



de la suite des impairs, qui succéderont aux ( 1 4 « ) _- 



