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diqiié de quelle manière ces résultats pouvaient s'établir par la considé- 

 ration élémentaire du développement en série de sinus et de cosinus. C'est 

 sur cette méthode que je me propose de revenir pour en faire une étude 

 plus complète, en mieux fixer le caractère et les limites, et surtout appro- 

 fondir la nature des nouveaux éléments arithmétiques qu'elle met en jeu et 

 qui lui semblent propres. Elle repose essentiellement sur l'emploi des ex- 

 pressions en séries de deux systèmes différents de fonctions qu'il est néces- 

 saire dedonner avant d'en exposer le principe. 



I. Le premier de ces systèmes est, à quelques exceptions près, l'ensemble 

 fies fonctions doublement périodiques considérées par Jacobi dans le § 39 

 des Fundamenta. En écrivant, pour abréger, 0, (-),, H, H, au lieu de 



0, (o), H, (o), de sorte qu'on ait : 



^ = y—^ =1 — 2^+39* — 27»-f-27'« — 29"+..., 



^) = y ~ ='+27+27*-|-27'' + 29'^-^2f/" + ..., 



/2/K 4- 4—- 4 4 



"= \~r =2V7-4-2V7' + 2V7" + isq'^ +..., 

 je les présenterai groupées de la manière suivante : 

 1 . /iB ~ =z 4 V^9 sin X 4 v^sin3-c 4 \l'q' s,\n5x 



>-? 1—9= l-q' 



2 -r,^ ® ' , 47sin-ï 4'7'sin3x Aq^î,\n5x 



H sin X ' — 9 I — <;' ' — î' 



3 W 5 — = 4 sjq cos j _ 4 \/y^co5 3.r 4 y/y"' co s 5 X 



4. KO Qi_ _ 1 f\qco%.v 4?' cos 3 j 4î'cos5.r_ 



'h, cosx 1—7 1 — 17^ I — q^ ■■ 



g fl H __ 4 V^ si" -g 4 vV' sin 3 j ^\fq<'%m5x 



0, i+y I +9' I -h 9^ ■•■' 



g yi5 — !— 4'/ sinx 49'sin3.r 4?' sin 5x 



H ~ sin jr ,_(_^ ~ iH-9' i + ^^^ ~ ' ' " 



7 flH, _ 4v/^cosx 4v^cos3x 4v'9'cos5.r 



S g _. ' 4?cos.T- 4?'<'os33: 4 9' es 5 j- 



H| cos X I -H 9 1 4-9^ I -(-^i ^ ■ ■ ■ 



