on aura 



4^^'] 



( 5o) 



h A T- + A, -7- + . . ., 



dt clx, dx, dx, 



,d\'!k±I}'\ 

 (9) L y, J ^ik_ti)^>.f _^)..j^.^..., 



' ^< 4)-, rf>-, ' rfr, 



L r/< J_rf( 



^< rfc, 



A 



rf/ , ^ '//; 



-Y 4- )., :t-' + . . . . 



C'est la forme des équations du mouvement donnée par Lagrange. 



Il Remarquons en passant que si l'on change les variables x,,j-,,z,, 

 JTo, ..., en d'autres, dont les premières sont des fonctions quelconques, les 

 équations (7) et (9) ne changent pas de forme : c'est ce dont il est facile de 

 s'assurer en faisant sur l'expression (3), après la substitution des nouvelles 

 variables, les mêmes opérations qu'on a faites précédemment. De cette ma- 

 nière on obtient précisément les équations transformées auxquelles Lagrange 

 et Hamilton ne sont parvenus qu'au moyen de calculs assez compliqués. 



» Si la variable indépendante t n'entre ni dans la fonction (f, ni dans les 

 fonctionsy,y, , ..., dans ce cas le principe des forces vives ayant lieu, on 

 a entre les variables jr,, 7 ,,z,, jr-j, ...,«,, t»,, îv,, it.,,..., l'équation 



n 



(10) '-^m,[u] + ^'] + w])=^(f + h, 



où h est une constante, au moyen de laquelle l'expression (3) se réchiit a 

 celle-ci 



n 



(11) —hdt-\-'^ nii ( Ui dxi + r,- d) ,■ + î\ ■, dzi). 



1 



La variation de cette expression, en prenant t pour ui>e constante, est évi- 

 demment la même que celle de l'expression 



n 



(la) 2 nh{i^idjci-hi'idfi -+- Widzt), 



d'où l'on conclut que, dans le cas où le principe des forces vives a lieu, ou 



