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 clans la forme 



nr^ -)- ibxy + (/j + i -|- «) j% 

 on trouvera 



/îX=— iî\n — è£)XY+ [in — ■i.bE+ i ■+■ a)Y-, 



et celte transformée, que nous désignerons par (A, — eB, C), en posant 



(i) A = n, B — n—be, C = 2« — 2^6 + i + rt, 



remplira les conditions :2B<A, 2B<C,le premier terme A étant tantôt 

 plus grand, tantôt plus petit que le dernier C. On voit donc maintenant se 

 produire une série de formes en nombre double des formes réduites, si 

 l'on excepte celles-ci : (A, o, C), qui ont été précédemment obtenues pour 

 i=: o. En effet, on tire des équations (i) : 



(2) n = A, b = B[A — B), rt = C — 2B — I, 

 et en permutant A et C , 



(3) « = C, b = E(C — 'B), « = A — 2B-1. 



Ainsi chaque forme réduite non ambiguë donne eifectivement deux sys- 

 tèmes différents («, b, a), où n et a sont positifs et b compris entre les 

 limites assignées. Mais à l'égard des deux formes ambiguës (A, eB, A) les 

 équations (2) et (3) coïncident, et pour celles-ci: (2B, eB, C) les équa- 

 tions (3) conduisant à une valeur négative de a, on n'a de même et pour 

 chacune d'elles qu'un seul et unique système de nombres, /z, b, a. Si l'on 

 avait d'ailleurs à la fois : 



2B = A = C, 



on ne pourrait employer ni les équations (2), ni les équations (3), de sorte 

 que cette forme est absolument exclue, comme plus haut le cas de A = C 

 dans le groupe des formes ambiguës (A, o, C). En résiniié, soit, pour un dé- 

 terminant donné A, H le nombre des formes réduites non ambiguës, h le 

 nombre des formes ambiguës de l'espèce (A, o, C), h' le méaie nombre à 

 l'égard des deux suivantes : (2B, B, C), (A, B, A), l'expression 



3 H -f- /f + 2 II', 



sera le nombre des systèmes, («, b, a) qui sous les conditions requises sa- 

 tisfont à l'équation 



n^ + 71 + an — b'^ — A. 



