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 Mais si A est un carré ou le triple d'un carré, ce nombre, d'après les excep- 

 tions relatives aux formes dérivées de (i,o, i) et (3, i, 2), devra être 

 diminué d'une ou de deux unités. On peut d'ailleurs l'écrire de cette autre 

 manière, 



•i£)-2h-h', 



en introduisant le nombre total des classes de déterminant — A qui est 



^ = \l + h + h'. 



Maintenant revenons au facteur ( — i)''("+') qui joue dans la question un rôle 

 essentiel. En posant en premier lieu 



et en second lieu 



A = n, B=:« — is, C=2« — aéî+i + a, 

 et 



C = n, B = « — Z>£, A = 2 7i — 2/;£-t-i + rt, 



on trouve toujours la même valeur 



a(« + i)^A + A-l-B + C+i (mod 2). 



» Il en résulte que pour tout déterminant le facteur ( — i^^C'^*) sera égal à 

 + 1 si l'un au moins des termes extrêmes A et C est impair, et à — i si 

 tous deux sont pairs. En faisant cette distinction dans les formes réduites, 

 nommons ^q le nombre total de ces formes, ho-, h\ celui des formes ambi- 

 guës des deux espèces dont nous avons parlé, où l'un des termes extrêmes 

 est impair, et |î,, A,, //^ , les expressions de même signification dans le cas 

 où les deux termes extrêmes sont pairs, on aura évidemment 



2;(-,)''(-)g"'— *'= V [(3JP„ - 2/.0 - h',) - (3^. - 2/^ -h\)]q'^, 



= 32(^0 -i^.)7^ + I:(^^< + ^^--^'o-^'o)9^ 



ce qui donne la loi du développement suivant les puissances de q, de la série 

 A , 1 / — y,' J-"i partie que nous avons isolée a dessein 



s'évalue à l'aide des résultats qui suivent. 



