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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégration des équations différeriticllts du 

 mouvement; par M. J. Sokoloff. 



(Commissaires, MM. Bertrand, Serret.) 



« Dans l'écrit que j'ai eu l'honneur de communiquer à l'Académie le 7 

 du mois courant, j'ai fait voir qu'en cherchant à rendre intégrabie l'expres- 

 sion 



( I ) {f — T)dt-h lini{ui dxi + t',- dji -\- Wi dz^ , 



on obtient les équations du mouvement. Maintenant je vais montrer que la 

 considéi'ation de la même e.xpression conduit de la plus simple manière aux 

 théorèmes relativement aux intégrales des équations du mouvement, aux- 

 quels on ne parvenait que par de longs calculs. 



» Pour plus de simplicité, nous supposons que le système considéré soit 

 entièrement libre et que le nombre des points matériels dont il se compose 

 soit n. D'après cela, le nombre des variables ;/,,i',,î»',-, jrj,/,-,z, sera 6« et on 

 aura aussi 6 «équations différentielles du premier ordre pour déterminer 

 ces variables en fonction du temps /. 



» Admettons qu'on ait trouvé 3 m intégrales de ces équations et qu'ayant 

 exprimé au moyen d'elles les quantités «/,, p,, u'j en fonction des variables 

 t, Xi,ji, Zi etdes constantes arbitraires que nous désignerons par a, , a^^ • • • j^sh? 

 on substitue ces expressions dans l'expression (i). Il est facile de s'assurer 

 que si, après la substitution indiquée, on différentie l'expression (i) successi- 

 vement par rapport à a, , a^, . . . , «3», chacune de ces différentielles au moyen des 

 équations du mouvement, qui restent encore à intégrer, c'est-à-dire <Yj:,= Wjf/^, 

 dji^Vidt, dZi = Widt sera réduite à zéro. En effet, nous savons que toute 

 la partie de l'expression (i) qui dépend des variations des quantités m,-, i^j, w,, 

 par les équations du mouvement, s'anéantit. Comme d'un autre côté on peut 

 supposer que les variations des quantités «,, i'^-, iVj proviennent des variations 

 des constantes arbitraires a,, «2, ... , «3,,, il s'ensuit que les différentielles 

 de l'expression (i) par rapport à ces constantes, par les équations du mou- 

 vement, doivent se réduire à zéro, c'est ce qu'il est facile de vérifier par le 

 calcul même. Si l'on désigne donc, pour abréger l'écriture, l'expression (ij 

 par A, on aura 



, - dA liA d\ 



(2) -—=0, —-=0,..., -— = 0. 



