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 Ces équations sont linéaires et du premier ordre par rapport aux variables 

 t^Xi, ji, Zi, et comme elles sont au nombre de 3 « et doivent être satisfaites 

 ])ar les mêmes valeurs des variables J:,, j",, z, que les équations 



djC; = M; (it, dji = f , dt , dz-i = ^Vidt, 



il est évident qu'on peut les substituer à ces dernières. 



» Cette substitution faite, on voit tout de suite que si l'expression A est 

 une différentielle exacte d'une fonction des variables <,a:,-, j,, z,,rintégration 

 de toutes ces équations ne demande qu'une seule quadrature, c'est-à-dire 

 qu'en faisant A = dQ, on aura 



d'où, en désignant par/3,, ^2, . .. , /Sj,, de nouvelles constantes arbitraires, 



^^> d7,-P'^ 77,-P'-'---^ d^ = ^'"- 



1! Il s'agit donc de rechercher si l'expression A est une différentielle 

 exacte. Sans entrer dans les moindres détails, nous pouvons affirmer qu'en 

 général l'expression A n'est pas une différentielle exacte et que, par consé- 

 quent, le simple procédé d'intégration qui vient d'être indiqué, nepeut pas 

 toujours trouver d'application. Le seul cas où l'on peut prouveren général 

 l'intégrabilité de l'expression A, est celui où cette expression, outre la va- 

 riable t, ne contient qu'une seule variable. Ayant en vue ce cas exception- 

 nel, je pensais que l'expression A, n'étant en général intégrable dans le cas 

 de plusieurs variables, pourrait le devenir peut-être par l'élimination de 

 quelques-unes des variables au moyen des intégrales trouvées, et je suis 

 parvenu à démontrer que quand on a poussé l'intégration des équations du 

 mouvement à tel point, qu'on puisse exprimer foutes les variables a:,, ^,, z, 

 au moyen de t et d'une quelconque d'entre elles, par exemple de .r,, l'ex- 

 pression A réduite à la forme Vdt -1- Qc^j:-, , où P et Q sont fonctions de t et 

 o",, est toujours intégrable. 



» Eu effet, nous savons qu'en prenant la variation de l'expression A et 

 égalant à zéro la partie de cette variation qui n'est pas une différentielle 

 complète, on obtient les équations du mouvement. Maintenant je remarque 

 que si, ayant obtenu quelques intégrales de ces équations et ayant éliminé 

 au moyen d'elles, de l'expression A, le nombre des variables égales à celui des 

 intégrales trouvées, on fasse subir à cette expression les mêmes opérations 



