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 en aide. Commençons par résoudre la question dans le cas d'un ébranlement 

 initiai quelconque, s'étendant indéfiniment des deux cotés. 



» L'équation aux différentielles partielles qui détermine les mouvements 

 dont il s'agit est, en désignant par u le déplacement du point dont l'abscisse 

 est X dans l'état naturel, par t le temps et par a une constante donnée, 



, d-u „ d-ii 



(i) -T^ = a 



2 



de dx- 



et l'on doit avoir pour / = o, de j: = — co à .r := + oo , 



(2) n--=Y[x\ J=/{-a?), 



Y et y désignant des fonctions données. 



» L'intégrale de l'équation (i) est, en désignant par 9 et t|^ deux fonctions 

 arbitraires, 



(3) /< = 9 (x + ni) + ij/ [x — at). 



Et pour satisfaire à l'équation (2) on devra avoir 



^ [x) = (j; (a:) = F ix), a [o' (x) - ^')x)\ = / [x), 

 d'où 



9(.r)-.^(j:) = ^ jT f{x)f/x + r, 



c étant une constante arbitraire. De là 



oix) = ^[F{x) + -^£j{x)dvj + U 



^[a)::=^F{x)-^JJj{x)c/x\-'-, 



et remettant ces fonctions !p et i|; ainsi déterminées dans l'équation (3), 

 n=~[V{x-^ai) + F(x-at)]+^^ f^'^ ' J{z]dz - j^ J {z)dzl 



ou 



(4) n = l[F{x + nt) + F{x-at)]+^^£^^y\z)Jz. 



» On vérifierait facilement que cette fonction satisfait aux conditions (0 



et(a). 



