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 où ( — J est le symbole de Jacobi, avec la convention de poser ( — 

 lorsque i ne sera pas premier à D. Alors les expressions 



y{n)=a'^J{i) ou F(«) = 2/(0, 



suivant que D est négatif ou positif, donneront, en vertu des propositions 

 précédeutes, le nombre des représentations de l'entier n, par le système des 

 formes proprement primitives de déterminant D. Mais ces propositions sup- 

 posent essentiellement « impair et premier à D, de sorte que pour tout 

 nombre A" qui ne satisfait pas à ces deux conditions, nous devrons siqjposer 

 F (A) = o. En conséquence, il faut déterminer la fonction $ en prenant 

 m = 2D,, ou simplement m — D,, selon (|ue le déterminant sera impair 

 ou pair. Pour mieux préciser, bornons-nous au premier cas : les expres- 

 sions 



R 



F(«) = 2^ (jW KJ pour D négatif, 



F {n) = 2. (7) '^ (7) pour D positif, 



auxquelles nous sommes ainsi amenés, donneront donc la somme des 

 nombres de représentations pour tous les entiers positifs, impairs et premiers 

 à D de un à n. Or on peut obtenir cette même somme en se plaçant à un 

 point de vue bien différent, comme on va voir. En supposant d'abord le 

 déterminant négatif, faisons correspondre à chacune des formes («, b^c) qui 

 composent l'ordre proprement primitif de ce déterminant, une ellipse ayant 

 pour équation en coordonnées rectangulaires 



njc^ -H 2 bûcy -+- cj"^ = n. 



» On reconnaît sans peine que le nombre des points dont les coordonnées 

 sont exprimées par l'ensemble des formules (A), 



X ^ iDv -\- a, j- = 2Dïv+|3, 



et qui sont situés dans l'intérieur et sur le contour de cette ellipse, donne 

 précisément cette somme des nombres de représentations par la forme 

 {a, b, c) des entiers considérés ci-dessus. En second lieu, supposons D posi- 

 tif, nous aurons un résultat entièrement analogue, en faisant correspondre 



c. R., 1862, in": Semestre. (T. LV, N» 18.) QI 



