( 690 ) 



à chaque forme {a, h, c) de l'ordre proprement primitif une hyperbole 



ax^ + 1 bxj 4- cy- = 11. 



Effectivement, d'après les conditions propres aux déterminants positifs, le 

 nombre de points dont les coordonnées sont l'ensemble des lormules (A), 

 et qui sont compris dans l'intérieur ou sur le contour du secteur hyperbo- 

 lique, terminé d'une part par les droites 



J = o, j = 



«U 



T — éU 



X, 



et de l'autre par la branche de courbe s'étendant du côté des abscisses 

 positives, couicidera avec la somme des nombres de représentations ap- 

 partenant à la forme [a, Z>, c). 



» On va voir quelle conséquence importante résulte de cette seconde 

 manière d'exprimer F(«). 



V. 



I) Rappelons, à cet effet, la proposition de Dirichlet sur le nombre des 

 points compris dans l'intérieur d'un contour fermé, et donnés par les for- 

 mules 



.T ^= nv -^ a, j ^= bw + /3, 



où i' et u' prenîient toutes les valeiu's entières de — =c à + =0 . Si Ion 

 suppose n et b positifs, ainsi qu'on peut toujours le faire en changeant le 

 signe de i» et iv, et qu'on désigne l'aire du contour par t, on aura sensible- 

 ment -j pour la valeiu' de ce nombre quand 7 est très-grand. Ce résultat 

 ne contenant pas a et /3, si l'on a p. systèmes de valeurs des coordonnées ne 

 différant que par ces constantes, ^ sera la somme de tous les nombres de 



points ainsi exprimés et qui sont compris dans l'intérieur du même contour. 

 Cela posé, l'aire de l'ellipse 



ax- + 'i/ijc) + c; ' = n, ou b'- — oc — — D, 



est 



ht: 



celle du secteur h\perbolique, 



n lo};(T-f-Uv/Ô) 

 2 v'ÏÏ 



