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M. PoNCELET communique la Lettre suivante, qui lui a été adressée par 

 M. Cajlej: 



u Monsieur, 



» J'ose vous écrire par rapport aux remarques que vous faites (p. 483 de 

 l'ouvrage : Applications d'Analyse, etc.) au sujet de mes recherches sur le 

 problème du polygone inscrit et circonscrit. 



» Je n'ai nullement voulu attribuer à Fuss le théorème pour les deux 

 cercles. J'ai seulement dit, tout à fait en passant : The case... oj tlie Iwo cii- 

 cles [the original case of llie Porisni as considered by Fuss), et, en effet, Fuss 

 a fait des recherches sur ce cas d'un polygone inscrit et circonscrit à deux 

 cercles. Mais je n'ai jamais imaginé qu'il y eût un géomètre (algébriste ou 

 non) qui ne connût pas, tant votre ouvrage classique de 1822, que le 

 Mémoire de 1828 de Jacobi, où l'on voit précisément ce que Fuss a fait sur 

 ce problème. Par rapport à mon dernier Mémoire [Pliil. Transactions, 1861) 

 que vous citez, et qui résume quelques Notes que j'ai publiées en i853, 

 permettez-moi de vous mentionner la forme de ma solution : on a une 

 fonction a -h b'^ -i- cS,'^ + d£,^ où S, est une quantité indéterminée, et fl, i, 

 c, d, e sont des fonctions données très-simples des paramètres qui déter- 

 minent les deux cercles (ou coniques). On développe la racine carrée de 

 celte fonction dans la forme A + B^ + C^* + D^' -t- ES,* + . . . , et, cela 

 fait, on a tout de suite l'équation entre les paramètres pour un polygone 

 d'ordre quelconque, savoir pour le triangle, le pentagone, l'heptagone^ etc.; 

 ces conditions sont 



C = 



C, D 



D, E 



o, 



= o. 



etc. 



tandis que pour le quadrangle, l'hexagone, l'octogone, etc., ces conditions 

 sont 



D, E, F 

 o, 



D = o, 



D, E 



E, F 



etc.; 



E, F, G 



F, G, H 



de manière que la condition est trouvée explicitement pour un polygone 

 d'ordre quelconque sans passer par celles cpti appartiennent aux polygones 

 d'ordre injérieur. 



)) Comme j'attache, je l'avoue, un peu d'importance à cette solution 

 (laquelle, selon l'explication que je viens de donner, ne paraît pas mé- 



