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fortschreitenden Reihe die Coefficienten so zu bestimmen, dass die Reihe für eine endliche Anzahl von 



Werthen der unabhängigen Veränderlichen (geographische Länge und Breite) gegebene Werthe annimmt. 

 Diese Aufgabe wird von Neumann viel einfacher gelöst, als es von Gauss in seiner Theorie des Erd- 

 magnetismus für einen speciellen Fall geschehen ist. Während Gauss, der die Entwickelung bis zu den 

 Kugelfunctionen vierter Ordnung iucl. führt, zur Bestimmung der erforderlichen 25 Constanten 25 Gleichungen 

 mit 25 Unbekannten auflöst, wird hier eine allgemeine Methode entwickelt, jene Constauten mit leichter 

 Mühe bis zu jeder Ordnung der Kugelfunctionen zu berechnen; dabei wird allerdings vorausgesetzt, dass die 

 Beobachtungsorte nach einem gewissen Gesetze über die Erdoberfläche vertheilt sind. Unter dieser Voraus- 

 setzung existirt nämlich ein einfaches System von Factoren, mit denen man nur nöthig hat, die Gleichungen 

 zu multipliciren und dann zu addiren, um ohne Weiteres die gesuchten Constanten zu finden. Das an- 

 gedeutete Verfahren beruht auf mehreren von Neumann aufgestellten Sätzen über endliche Summen von 

 Kugelfunctionen. 



Eine weitere Arbeit ist in Crelle's Journal Bd. 37 (1848) veröffentlicht. In dieser wird zum ersten 

 Male die Kugelfunction zweiter Art durch einen geschlossenen logarithmischen Ausdruck dargestellt und 

 diese Dai Stellung dann auf die sogenannte zugeordnete (oder nach Neumann's Bezeichnung „adjungirte") 

 Kugelfunction zweiter Art übertragen. Ferner wird in derselben Arbeit zuerst die reciproke Entfernung 

 zweier durch elliptische Coordinaten (für Rotationsflächen) gegebenen Punkte in eine Kugelfunctionenreihe 

 entwickelt, und es werden die Gründe aufgedeckt, aus denen die Lösung der Laplace'schen Gleichung für 

 abgekürzte Rotationsellipsoiden dieselbe Form hat, wie für verlängerte. Als Anwendung wird der magnetische 

 Zustand eines Rotationsellipsoides unter Einwirkung beliebiger vertheilender Kräfte bestimmt. 



Eine dritte die Kugelfunctionen betreffende Arbeit („Beiträge zur Theorie der Kugelfunctionen") 

 ist 1878 als besondere Schrift erschienen. Hier werden zuerst diejenigen zugeordneten Kugelfunctionen 

 einer genaueren Betrachtung unterzogen, deren Hauptindex kleiner ist als der Nebenindex. Es werden die 

 wichtigsten charakteristischen Eigenschaften dieser Functionen ermittelt und verschiedene Darstellungen der- 

 selben gegeben ; damit wird eine Lücke in der allgemeinen Theorie der Kugelfunctionen ausgefüllt. Neben- 

 bei enthält jenes Werk, das auch die Entwickelung des Productes zweier Kugelfunctionen in eine einfache 

 Reihe von Kugelfunctionen behandelt, die ausführlichste Zusammenstellung von Reductionsformeln betreffs 

 der Kugelfunctionen, darunter viele neue. 



Die eben besprochene Schrift war die letzte Arbeit, welche von Neumann selbst oder nach seinen 

 Manu Scripten veröffentlicht ist. Das Bild seiner Leistungen, das ich, zum Theil nur in kurzen Andeutungen, 

 zu entwerfen versucht habe, würde aber ein unvollständiges sein, wenn ich nicht noch der Ausarbeitung 

 und Heiausgabe von Neumann's Vorlesungen durch mehrere seiner Schüler gedächte. Enthalten diese Vor- 

 lesungen doch so manches Resultat von den Forschungen des Meisters , das anderweitig nicht veröffentlicht 

 ist, und haben sich dieselben doch, trotzdem sie verhältnissmässig spät gedruckt sind, einen weiten Leser- 

 kreis erworben. Bisher sind die folgenden Vorlesungen erschienen: 



1) Theorie des Magnetismus, herausgegeben von C. Neumann, 1881. 



2) Einleitung i-n die theoretische Physik, herausgegeben von 0. Pape, 1883. 



3) Elektrische Ströme, herausgegeben von K. Von der Mühll, 1884. 



4) Theoretische Optik, herausgegeben von E. Dorn, 1885. 



5) Theorie der Elasticität fester Körper und des Lichtäthers, herausgegeben von 0. E. Meyer, 1885. 



6) Theorie des Potentials und der Kugelfunctionen, herausgegeben von C. Neumann, 1887. 



7) Theorie der Capillarität, hei ausgegeben von A. Wangerin, 1894. 



Es würde zu weit führen, auf den Inhalt der Vorlesungen hier näher einzugehen. Nur mögen aus 

 denselben noch einige wichtige Untersuchungen angeführt werden, über die Neumann selbst sonst nichts 

 publicirt hat. Ich nenne aus Vorlesung 2) die Theorie der Wage nebst der von Neumann angegebenen 

 Construction einer Wage, ferner die strenge Ableitung des Poiseuille'schen Gesetzes über die Bewegung von 

 Flüssigkeiten in engen Röhren ; aus 1) und 3) die eingehende Theorie verschiedener elektrischer und 

 magnetischer Messinstrumente, die Untersuchungen über Ersetzung eines Magneten durch ein System ge- 

 schlossener elektrischer Ströme, sowie über die Herstellung eines Raumes von constanter magnetischer, 

 resp. elektrodynamischer Kraft. Aus 1) und 6) sind ausserdem zu erwähnen die Sätze über die so- 

 genannte charakteristische Function Neumann's, die bei der magnetischen Induction wie bei den Problemen 

 stationärer elektrischer Strömung dieselbe Rolle spielt, wie die Green'sche Function bei der elektrischen 



