( 94) 

 importance dont il est impossible de n'être pas frappé. La théorie des f'onc- 

 tioiis elliptiques, déjà assez avancée pour donner l'idée de ce qu'on doit 

 attendre de ces transcendantes à plusieurs variables, justifie particulière- 

 ment, à l'égard de l'expression e~''\ ce caractère d'élément essentiel dans 

 l'expression de leurs propriétés, et qu'on ne peut, en quelque sorte, perdre 

 de vue dans les recherches auxquelles elles conduisent. C'est ce qui m'a 

 amenéàcetteremarque,que lesexponentiellese""^ ete"*'^'^'^' '"■■ donnent 

 naissance, comme le radical 



( I — 2 a .r + «- ) ■•■ 



et i'expre.ssion 



_ 1 



[i — 2 a {x}' -f- cosô y' i — x'- \ i — j-) -h u'\ ' , 



qui joue le principal rôle dans plusieurs des plus importantes questions de 

 la Mécanique céleste, à un système de polynômes entiers, pouvant servir au 

 développement des fonctions d'un nombre quelconque de variables. Mais, 

 taïidis que les fonctions de Legendre et de Laplace conduisent à des 

 développements où les variables sont renfermées entre les limites — i et 

 + I , il sera nécessaire ici d'embrasser toute l'étendue des valeurs réelles 

 de — 30 à + ce ; on verra, du reste, entre les propriétés d'expressions 

 d'origine si différente, l'analogie la plus complète. Je commencerai, afin de 

 la mettre dans tout son jour, par le cas des fonctions d'une seule variable 



et des polynômes semblables à X„ qui se tirent de l'exponentielle e""" . 



M Désignons par e "^ U„ la dérivée d'ordre ti de é"^ , de sorte qu on 

 ait successivement 



U, = — IX, 



U2 = l\.f^ — ax, 



U3 = — 8 x^ + 24 X, 



U4 = \i]x'' — l^diX' + 12, 



et, en général, 



— 1 1" ii„ = (7.X1" 5 '-{2x)"— -\ [2x : 



1.2.3 \ ' ' 



ii~i 



