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 et la suivante / e~^ [j„U„'<i^x est nulle quand n est différent de «'. 



J — -n 



Pour « = ji , on a 



e~ "^ Undx = 2.4.6... 2n.\n. 



f 



» 4. Tout polynôme entier F(j:) du degré n peut être exprimé ainsi : 



F(.r) = A„U„ + A, U, + .. . + A„U„, 



les quantités A^, A,, etc., étant des constantes. Il suffit, en effet, de re- 

 marquer qu'on a pour une puissance quelconque 



(- 2^)" = U„ + ^^^ U„_, + n[n-.)[n-.)[n-Z) ^^_^ 

 n{n — \)[n— i\[n — 3)(«— 4)(/z — Sj ^f , 



"^ 1.2.3 U„_6-^..., 



et en général il en est de même de toute fonction F(cr) en prenant 



2.4.D. . . 2«.y7r t/— œ 



» Un des caractères de ces développements consistera en ce qu'ils gar- 

 dent la même forme après la différentiation et l'intégration ; on a en effet 



/F(.r)r/x=-l2:^U„. 

 n o. En particulier, on obtiendra 



2 cosuor = e- '-* (^^ _ -^ U., + ,^"3^ U, - . . . j 



2 sui (SiX = — e - U, 5 Uo H ^—r-p U5 — . , 



\i 1.2.3 1.2.0.4.5 



» Ces divers résultats se retrouveront d'ailleurs à l'égard des fonctions 



plus générales qu'on tirerait des dérivées successives de l'expression e~"''\ 



que j'ai reconnu indispensable d'employer dans certaines circonstances. 



Sans m'y arrêter en ce moment, j'arrive aux polynômes analogues à U„, et 



qui renferment un nombre quelconque de variables (*). 



(*) En posant .r = 2 costp, les quantités V„^ 2cos«'j), U„ = — seront aussi 



sin - tp 



