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II. 



» Soit ç)(x, j-, 2,...) une forme quadratique à u. variables .r, y, r,..., 

 et dont la partie réelle soit définie et positive: désignons par i|(ji% j, z,...) 

 le contre-varianf quadratique ou forme adjointe de Gauss, et par c? l'inva- 

 riant. Nous considérerons deux systèmes de polynômes rationnels et en- 

 tiers en X, j, z,... qui seront définis de la manière suivante. 



» Développons, en |)remier lieu, suivant les puissances des accroisse- 

 ments h, //,, //o,..., l'exponentielle 



— çj (j: + fc, ^ +/i, , ï-f-A,,...) 

 ^ J 



et en remplaçant, pour abréger, le produit 1.2. 3...// par [n], posons 

 l'égalité 



les quantités U„, „',„",,.. rationnelles et entières en o", ;-, z,... et d'un degré 

 égal à n -h n' + ti" -+-..., formeront le premier système. 



» Le second s'en déduira par une substitution linéaire effectuée sur les 

 accroissements //, //,, hn,...; eu introduisant le polynôme •]/{!<, A|, A.,,...), 



des polynômes du degré n en x, tels que les intégrales 



/ V„V,.' ,, et / U„U,/\/— — rf.r 



seront nulles ou égales à i~ suivant que n est diflércnt de n' ou lui est égal. Ces polynômes 

 satisfont aux équations différentielles 



données dans Vj/gèbre supérieure de M. Serret. On peut également les considérer comme les 

 dénominateurs des réduites successives des fractions continues suivantes : 



v/^' - 4 .^ _ 



/x 2 



et t/ = 1 



y x + 1 



I 



X — 



Je n'ai pas besoin enfin de rappeler les polynômes P'"' de M. Lamé dont les propriétés ont 

 été exposées avec tant de simplicité et d'élégance par l'illustre géomètre, dans son ouvrage sur 

 les fonctions inverses des transcendantes et les surfaces isothermes. 



