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' ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions à périodes mitlliples; 



par M. Casorati. 



« J'écris l'équation (5) comme il suit (') : 



(■j) z = Ip moA (i— Z) — \J 2 Ip mod ( i — ^ Z j 4- / arg(i— Z)- \fô.ars, [i— - Z 



A une valeur de Z en correspond une double infinité de z, qui s'obtiennent 

 de l'une d'entre elles par l'addition de quantités 



i\2mTi — im'n ya)- 

 Z a pour périodes 



» La question dont la solution répond à tout ce qui nous importe est: 

 i( Un chemin quelconque étant donné pour r, déterminer le chemin corres- 

 » pondant de Z. « 



» On suit très-aisément les mouvements simultanés d'une variable et 

 d'une fonction en calculant deux systèmes de lignes pour la fonction, qui 

 correspondent à deux systèmes de lignes pour la variable, sans sortir des- 

 quelles celle-ci puisse passer d'un point à \\n autre quelconque de son plan. 

 Je prends pour z les systèmes de droites j)arallèles aux axes("). Alors les 

 éqnations des systèmes de lignes correspondantes pourZ pounont se ré- 

 duire aux suivantes : 



(lO) 



('4) T 



(4 — 4x + x=-i- Y'jvT 4v'r 



sin V2 i|i 



in (y/a — i)'l^ 



(*) Le logaiittirae naturel d'un nombre quelconque (t'a une infinité de valeurs, ayant 

 toutes pour partie réelle le logarithme principal (celui des éléments) du module de «■. Les 

 parties imaginaires sont les produits de / par les arguments de tv. C'est ce que j'entends cx- 

 ])rimer par 



Al' = Ip mod d' -t- ( arg h'. 



(**) Les axes réel et imaginaire seront désignés par oi et oi. Quant à leur direction, ces 

 signes en exprimeront les directions positives, les signes — oi et — oi les négatives. 



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