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)> Maintenant nous allons découvrir et discuter les points singuliers. 

 Pour les découvrir, concevons z accomplissant un tour sur une très-petite 

 courbe autour d'un point Zg- Elle traversera deux fois la droite jc=: Xq très- 

 près de Zq. Or, tant que Xq n'est pas Ç, la ligne correspondante de celte 

 droite n'a aucun point multiple; par conséquent Z, qui doit aussi deux 

 fois traverser cette ligne très-près de Zq, passera de 1 [vo/ez par exemple 

 fig. I i) à II pour repasser aussitôt à I, se comportant en fonction mono- 

 drome. Mais lorsqu'on a simultanément 



Xq = Ç , Zq = v2 , 



alors z traversera (12) deux fois, en passant par exemple de I à II et de II 

 à III, d'où elle ne reviendrait à I qu'après deux tours de z. Z cesse donc 

 d'être monodrome et prend deux valeurs différentes. Tous les points singu- 

 liers sont pourtant : 



(16) Ç -f- / (awTi — a/n';: ^2); 



je les désignerai par Ç^ „,-. Ils sont une double infinité de points placés dans 

 la droite 



('7) J^ = Ç, 



tililc, — y'2; toute autre (10) n'en a aucun. Je désignerai par 'C Vx de (12), qui est approxi- 

 mativement o,i25o5. Lorsque x croît de — Od ai;, la plus petite des deux courbes [dont 

 l'ensemble constitue la ligne (10)], n'étant d'abord qu'un point (le point i), grandit peu à 

 peu et devient la plus petite des courbes réunies (12). La plus grande, étant d'abord le lieu 

 des points infiniment distants de zéro, se restreint peu à peu et devient la plus grande des (12). 

 A partir dex=:Ç, il n'y a plus qu'une seule courbe continue, dans laquelle les espaces 

 désignés N à part dans (12) se rétrécissent de plus eu plus, jusqu'à ce que la courbe devient 

 comme (i3), et qu'enfin, pour ar =r 00 , elle se réduit au seul point 2. Il est utile d'emplovcr 

 trois des lignes (10), telles que l'on ait respectivement a; <, =;,>!;. Pour (11), .r = o ; 

 pour (i3), j: = I. 



L'équation (i4) donne une seule ligne comme correspondante d'une double infinité de 

 parallèles à 01. Elle est symétrique par rapport à l'axe réel et comprend trois sortes de 

 brandies : la branche V [fig. i5) et sa symétrique; une infinité de branches (signées U, dont 

 deux Seules sont tracées dans la figure) qui partent de 2 et y reviennent en passant par i ; 

 enfin une infinité de branches (W, dont aussi deux seules sont tracées) qui partent de 2 

 |)ours'en éloigner indéfiniment. Les U (y compris les branches symétriques) sont en dedans, 

 les AV en dehors de l'espace renfermé par les deux V. La^g. i5 et les deux (i8), (19) sont 

 tracées à une échelle triple de celle de (i 1), (12), (i3). U est essentiel de remarquer cepen- 

 dant que l'équation (i4) ne met pas en évidence toutes les branches de la ligne, et qu'aux 

 branches U, V, W il faut ajouter l'axe réel de — co squ'à i. 



