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 tence, au pôle, d'une mer libre de glaces. Les navigaleius modernes, ramenés 

 à la même idée, ont fait dernièrement de grands efforts pour atteindre cette 

 mer ouverte; le résultat de la savante analyse de notre illustre et regretté 

 confrère les animera sans doute d'une nouvelle ardeur. 



GÉOMÉTRIE. — Démonstration du théorème de Gauss relatif aux petits triangles 

 géodésiques situés sur une surface courbe quelconque; par M. Ossia» 

 Bonnet. 



« Parmi les nombreux résultats que renferment les célèbres Disquisitiones 

 générales circa superficies curvas, un des plus remarquables, et en même 

 temps des plus difficiles à établir, est le beau théorème relatif aux petits 

 triangles géodésiques. Gauss, qui s'était proposé surtout défaite connaître un 

 grand nombre de formules pouvant servir à des applications diverses, n'est 

 parvenu à ce théorème qu'à la suite de calculs longs et compliqués. Depuis, 

 aucun géomètre, que je sache, n'a cherché à simplifier la démonstration 

 de Gauss et à la réduire à ce qu'elle présente de réellement essentiel. Je 

 pense donc faire une chose utile en publiant ici une démonstration nouvelle 

 qui me paraît simple et qui de plus a l'avantage de conduire directement au 

 but. 



M 1. Traçons sur une surface une ligne géodésique quelconque OX, et 

 considérons les points M de la surface comme définis par la longueur y de 

 la ligne géodésique MP menée par M perpendiculairement à OX, et par 

 l'arc X de OX compris entre une origine fixe O et le pied P Aej. Pour 

 étudier les lignes tracées sur la surface au point de vue de leurs longueurs, 

 des angles qu'elles forment et des aires qu'elles comprennent, il sera néces- 

 saire de connaître en un point quelconque la mesure de courbure k de la 

 surface, la courbure géodésique h des courbes jr = const., et enfin l'élé- 

 ment ndx de ces mêmes courbes. Or, on a d'abord, entre ces trois éléments 

 considérés comme fonctions de x et de j^ les deux équations aux différen- 

 tielles partielles 



dh ,, , I dn i 



avec les deux conditions 



h = o, n = i, pour j- = o, 



qui servent à déterminer les fonctions arbitraires. D'un autre côté, en 



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