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 Les trois premières de ces égalités sont exactes aux termes du cinquième 

 ordre près, la cinquième aux termes du sixième ordre près, enfin la qua- 

 trième est rigoureusement exacte. Je considère maintenant le triangle 

 rectiligne ayant a, i, c pour cotés, et je calcule pour le comparer à A 

 l'angle Ao de ce triangle qui est opposé au côté a. On sait que l'on a 



ibc cos Aq = b- -\- c^ — rt^. 



Divisant par x' les deux membres, et développant, en laissant de côté les 

 termes en x" , il vient 



2 y/T+P v^I+a" j I — a (a-+ a") ^ — [5i (a' 4- =t") + 2c {'■>? -f- a'»)] ~ cos A, 

 = 2 (i + aa')— 2 [a a' (1+ a') + aa" (i -I- «")] j 



— [5i«=(l-t-a')4-5èa"(l +a")+ 2Ca^ (l + a')+ 2Ca'^ (l-f- a'^)] — 

 -t-[a(a'— a)'-t-2a(:^'— a)(a'' — a')]^ 

 + [26(a'-a)^ + c(a'-a)(a' = -a=) + 5é(a'-a)(a'=-a=) + 2c(a'-a)(a'*— a-';J— , 



OU, avec la même approximation, 



y/ 1 + a' v'i 4- a'^ COS A» 



:i+aa'-f-a[2(i+aa')(a'-l-a'=)— 27.= (i+a')— 2a' = (H-a")-(-(a'— a)' + 2(a'— a)(*'^— a>)]|." 

 -f-[56(l + aa')(a'-(-a' = ) 4-2c(l + aa' ) ( a' -+- a' = ) — 5ia'(n-a^) 

 — 54z'-(l+ a'^) — 2ca'(l + a') — 2ca"(i-f- a") + 2i(a'— a)= 

 + c (a'— «) (a' = — a') 4- 5i (a'— a) {a'= _ «'] + 2C (a — a) (a" — a<)] ^ ; 



d'où, en réduisant et résolvant par rapport à cosA,,, 



l + aa' + fl(a'— a)'-^ -1- («' — a)'[2 6 -|-c(a'-|- a)] 



cosAq = 



X' 

 g -r \- .^ 1^ .. -,-..^^ -T- >^^j _ 



y/i + a^ v'i 4-a'- 

 mais A étant égal à arc tanga' — arc tanga, on a 



sin A = , 1 cos A = 



On peut donc écrire 



cosAo = cos A 4- (a' — «) sinA[4« + 2^j: + c(« 4- a')j;] -y 



24. 



