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multiples de in. Et coïiuneces variations partielles réunies de la façon indi- 

 quée par (7) doivent donner la variation totale de l'ordonnée de z, elles 

 devront être respectivement 2 wt: et 27?i'7r. Or, arg(i—Z) ne peut changer de 

 de 2 7: qu'après un tour complet de Z autour de i (sur quelque courl)e que 

 ce soit), comme arg(2— Z) qu'après un tour autour de 1. On aperçoit donc 

 enfin que tout chemin convenable conduisant z de Zq à (4) doit être décom- 

 posable en m chemins élémentaires d'une première espèce (sur chacun des- 

 quels z varie de ±57, pendant que Z fait un tour autour de i), et on m' 

 d'une seconde espèce (où z varie de rhcr'). 



» On remarquera bien que la question des chemins élémentaires, à la réu- 

 nion desquels doit être équivalent tout chemin convenable conduisant z de Z(, 

 à (4), est déjà suffisamment éclairciepar le seul cas que nous venons d'ana- 

 Ijser(^). 



" § m. — Pour obtenir un nombre de périodes successivement crois- 

 sant dans la fonction inverse Z d'une intégrale 



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7.]dZ, 



d n'est pas nécessaire de recourir à des fonctions / d'une nature successi- 

 vement plus compliquée, dès que le cas le plus simple (de / rationnelle) 

 nous offre déjà tout seul autant de périodes que l'on veut. Nous savons, en 



effetj que toute fraction simple " intégrée donne naissance à une pé- 

 riode 2T:c(i. M. Puiseux, dans ses Recherches sur les fondions ahjébricjues 

 (préparation très-féconde aux recherches d'intégration), fait bien remar- 

 quer cette multiplicité de périodes (LiouviLLE, t. XV, p. 439, 440) ; mais en 

 ne touchant aux fonctions inverses qu'à l'occasion des fonctions de deux 

 variables (p. 463), il n'a pas dû aborder le théorème de Jacobi. Du reste, 

 même en considérant les fonctions inverses d'une seule variable, les ana- 

 lystes n'ont pas cru devoir attaquer le théorème, abandonnant les fonc- 

 tions aussitôt qu'elles avaient l'air de le contredire. Cependant, M. Her- 



(*) J'ajouterai encore ce qui suit, en éclaircissement de ce qui a été dit dans le pre- 

 mier article. Si Ton y suppose Zo = o, Z„ = o (Z étant notre fonction particulière), et qu'on 

 fasse marcher z sur la droite des points (4), qui est maintenant oi, Z ne reprend la valeur o 

 qu'à des intervalles de longueur. Afin qu'elle reprenne cette valeur à des intervalles plus 

 courts, il fautque:, en passant d'un terme de ces intervalles au suivant, quitte la droite et 

 décrive des chemins convenablement composés. 



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