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 mile, t'ii reproduisant le théorème dans sa Note {sur les fondions elliptiques) 

 au Traité de Lacroix, ne lui donna l'appui de son autorité que pour le cas 

 des fonctions uniformes (*). 



» La fonction inverse de l'intégrale elliptique de troisième espèce pos- 

 sède une périodicité triple; mais elle ne pouvait paraître, du moment que 

 l'on n'étudiait pas la limite variable comme fonction de l'intégrale, mais 

 I intégrale même comme fonction de l'intégrale de première espèce. Cela 

 convenait alors au but prochain de Jacobi et d'Abel, comme le célèbre 

 Norvégien dit explicitement [OEunres complètes, 1. 1, p. 3i8). En jetant les 

 yeux sur l'équation (3) bien connue delà page i46 des Fund. Nov., on est 

 averti sur-le-champ, par le logarithme qui s'y trouve, que, outre les deux 

 périodes 



41^ •777-4' 2iK'-7-4 -j- -7:/, 



* 0(a) &[a) K 



provenant de l'intégrale ii et que j'écris comme elles se présentent d';ibord, 

 l'intégrale H, ou plus précisément sa fonction inverse, possède aussi la pé- 

 riode -ini =^ 71 i. 

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» Enfin, qu'il me soit permis d'ajouter encore quelques mots faisant allu- 

 sion aux études ultérieures. La limitation imposée à la périodicité par le 

 théorème de Jacobi une fois enlevée, il est bien naturel de revenir tout de 

 suite à l'étude des fonctions d'une seule variable, que le calcul nous pré- 

 sentecomme inverses des intégr-ales. Nous nous trouvons ainsi aux premiers 

 pas en présence des fonctions inverses des intégrales Abéliennes. Nous 

 n'avons rien à dire sur ce que Jacobi expose dans le Mémoire considéré 

 et dans celui du tome IX, par rapport aux fonctions à plusieurs variables 

 et à plusieurs périodes et à leur liaison avec le théorème Abélien. Mais ce 

 sont, je me permets de le répéter, les fonctions d'une seule variable qui 

 réclament d'abord notre attention. Prenons l'intégrale particulièrement 

 analysée par Jacobi dans le Mémoire, c'est-à-dire, en d'autres lettres, l'in- 

 tégrale 



Jo V<P(Z) 



ou 



©(Z)=::Z,1 - Z;(l-X=Z;(l - À-Z)^l -p/'Z). 



(*) Qu'il me soit permis de (aire observer que, dans ma conviction, .lacobi n'a jamais 

 en en vue d'autres fondions. [Note de M. Hermite.) 



