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funérailles de M. Clapeyron, avait écrit les adieux qu'il eût voulu adresser 

 à son ami : ou trouvera ces paroles imprimées à la suite de celles que 

 M. Couibes a prononcées au noui de la Section de Mécanique. 



MATHÉMATIQUES. — Détemiinalion du nombre des sections coniques qui doivent 

 toucher cinq courbes données d'ordre quelconque, ou satisjaire à diverses 

 autres conditions ; par M. Chasles. 



« Cette question, qui préoccupe les géomètres depuis longtemps, parce 

 qu'en effet elle est un point de départ nécessaire dans plusieurs parties 

 de la théorie générale des courbes d'ordre supérieur, est encore bien peu 

 aviuicée. 



» On n'a pas même épuisé la question la plus simple, où l'on ajoute 

 aux conditions accoutumées, de passer par des points et de touclier des 

 droites, celle de toucher une section conique. On sait que pour quatre 

 poinls et une conique, il y a six solutions; pour trois points, une droite 

 et une conique, douze solutions; et de même pour les cas corrélatifs, où l'on 

 donne quatre droites et une conique; ou trois droites, un point et une co- 

 nique. Mais on n'a pas déterminé, je crois, le nombre des coniques qui 

 passent par deux points et touchent deux droites et une conique. Ce 

 nombre est lô. 



M Si l'on veut que les coniques touchent deux coniques données, on sait 

 seulement que lorsqu'elles doivent passer par trois points, il y a trente-six 

 solutions, ainsi que dans le cas où elles doivent toucher trois droites. 



» On n'a pas abordé le cas où elles devraient toucher trois coniques; 

 et à fortiori ceux où elles devraient toucher quatre ou cinq coniques. 



» Quant au contact des coniques avec des courbes d'ordre supérieur, on 

 ne connaît que ce résultat unique, savoir, que le nombre des coniques qui 

 passent par quatre points et touchent une courbe d'ordre m, est m[m -+- i). 



M Toutefois, il f.uit ajouter qu'un savaiit géomètre de Munich a donné 

 luie formule qui lui a paru résoudre la question dans toute sa généralité, 

 car elle exprimerait le nombre des coniques qui passent par (5 — p.) points 

 et touchent p. courbes d'ordre quelconque^*). Mais quelques vérifications 

 montrent l'inexactitude de la formule; car elle donne trente-deux coniques 

 tangentes à cinq droites, quand il n'en existe qu'une; seize, au lieu de 

 deux, pour le nombre des coniques tangentes à quatre droites et passant 



(*) Journal de Mac/ic/iiiiCirjiics de Crelle; t. LVI, p. 166-177, année i858. 



