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par un point; qiiaranle-luiit, an lieu de six, pour les coniques passant par 

 quatre points et tangentes à une conique donnée, etc. Le nombre 7776, 

 accusé pour les coniques tangentes à cinq coniques, diffère aussi considé- 

 rablement du nombre véritable, 3264. 



» Indépendamment de ces vérifications numériques, une considération 

 bien simple suffirait pour faire concevoir des doutes à priori: c'est que 

 la formule permet de prendre, pour les données de la question, indifférem- 

 ment des points ou des courbes d'ordre quelconque, aussi bien que des 

 droites ou des courbes : ce qui serait, à l'égard des points et des courbes, 

 ime singularité bien étonnante. 



» Le problème reste donc à résoudre. ' 



» La solulioo que j'ai l'honneur de communiquer à l'Académie est ren- 

 fermée dans quatre formules. 



» La première donne le nombre des coniques tangentes à cinq courbes 

 d'ordre quelconque. Elle s'applique aux cas où ces lignes, en totalité ou en 

 partie, deviennent des droites. 



» Les trois autres sont relatives aux cas où les coniques doivent passer 

 par des points et toucher des courbes. 



» Les formules, quoiqu'elles exigent quelque longueur de calcul, de- 

 viennent extrêmement simples, au moyen d'une notation que je vais indi- 

 quer. 



» Notation. — Si l'on a à considérer cinq courbes d'ordre quelconque 

 m, m', ..., on représente par S5 le produit des indices m, m', ... ; par S4 la 

 somme de leurs produits, quatre à quatre, etc.; et par S, la somme des 

 cinq nombres. 



1) Pour quatre courbes, d'ordre m, m\ ..., S4 représentera le produit 

 des quatre nombres m, m',...; S3 la somme de leurs produits trois à 

 trois, etc. 



>) De même pour trois courbes, et pour deux courbes. 



Formules exprimant le nombre des coniques qui satisfont à cinq conditions 



dénommées. 



>' L Toucher cinq courbes d'ordre quelconque : 



S^S, -hS, -+-S3-3S, + 3S,). 



» II. Passer par un point et toucher quatre courbes : 



S. (S, + S3 -^ S2 - 3S, +3). 



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