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5(x) et9r{y) étant les polynômes entiers en x et j des degrés m — i et 

 «— I, à coefficients arbitraires. Voici la conséquence qu'on en déduit. 



II. 



» Je dis que l'équation U,n,„ = o, considérée par rapporta .x\ admet an 

 moins ni racines réelles, quel que soit j-, et envisagée par rapport à j, n ra- 

 cines réelles quel que soit x. Employant en effet la belle méthode donnée 

 par Legetidre dans les Exercices de Calcul intégral pour les fonctions X„, je 

 supposerai / racines réelles, 



i étant moindre que m; et en faisant pour un instant 



y,; x) = (.r — je, 1{.r — .rj). .. (.r — x,), 

 U„.„=/(x)F(r), 



je prendrai (x) = f{x), ce qui donne l'égalité 



/_ 



e '' y-(.r)F(x)r/x = o. 



On en conclut que le polynôme F(x) change de signe au moins une fois 

 entre — <xi et + oo , sans quoi l'intégrale ayant tous ses éléments positifs 

 ne pourrait s'évanouir, de sorte qu'on peut ajouter une nouvelle racine 

 réelle aux précédentes, et poursuivre ainsi jusqu'à ce qu'on soit amené à 

 la limite du degré de 5(x), Cela donne par conséquent m racines réelles 

 pour X, et en opérant sur j' on trouverait de même le résultat annoncé. 

 Mais on peut aller plus loin et établir que l'équation Um,„ = o, considérée 

 par rapport à x ou j", a toujours toutes ses racines réelles. 



» Remontant à cet effet à la définition même de nos fonctions, savoir : 



2 ' TT f . m+ii" 



'î - U,„.„ = (-!/"-" 



je remarque qu on a pour m 



= o 



o ' , Un.„= -I « — 



darfdy" 

 --p(x, ,) 



'0,H ■ 



dy" 



de sorte qu'on peut écrire 



■9V^>3) d'"c •* U» 



