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 Or on a, d'après l'expression générale précédemment donnée, 



Uo.» = F„(ï;, c), 

 et, en vertu de la liaison remarquée entre F„ et les fonctions D,, à une seule 

 variable, nous sommes déjà assurés que l'équation Uo,„ = o admet n racines 

 réelles par rapport à n =^ bx + c}\, et par conséquent par rapport à x 

 quel que soit j. Le facteur exponentiel étant toujours positif, on en conclut 



-'-?i^, y) 

 que la dérivée — a // — i racines dans l'intervalle des précé- 

 dentes. Mais, en raison de ce même facteur exponentiel, l'expression 



e Uo,„ s'annule pour jc= — Qoetx=+3:, d'où résulte néces- 



sairement, dans la dérivée, deux nouvelles racines, l'une entre — co et la 

 plus petite racine de l'équation Uq,,, = o, l'autre entre la plus grande 

 et 4-00. Il est prouvé par là que la nouvelle équation U,_„ = o admet 

 ^^ -f I racines; et en continuant de proche en proche le même raisonne- 

 ment, on établira l'existence de m -f- n racines réelles pour l'équation 

 U,„,„ = o, dont le degré est m -\- n par rapport à x. La même chose aura 

 lieu évidemment à l'égard de j', et notre proposition se trouve ainsi dé- 

 montrée. 



IIL 



» Je terminerai par une remarque sur la valeur limite, lorsqu'on suppose n 

 très-grand, des termes du développement d'une fonction F(x) par la formule 



F(x)= Va„U„, 



où le coefficient A„ est, comme on l'a dit précédemment, déterminé par la 

 relation 



/ — ■ /^-t-" _^ 

 A„ = ' \/— e 'l]„F{x)dx, 



I .2. . .n.a" V 277 J_„ " \ J ' 



et qui pourra servir à la recherche des conditions de convergence de ce 

 développement. Suivant à cet effet la méthode donnée par Laplace dans la 

 Connaissance des Temps, année iSay, et appliquée par ce grand géomètre 

 aux fonctions X„ de Legendre, je représenterai l'intégrale de l'équation 



— p^ ax — 1- nii U„ = o 



(ijr- tl.r 



par 



U„ = pstïn {x\'a/i) -+- (jcoA{x\'aii). 



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