( 298 ) 

 coniques qui satisfont à quatre conditions; et ces propriétés présentent par- 

 lois des difficultés dans l'application que l'on en fait, à raison des cas particu- 

 liers qui se rencontrent dans les coniques d'un système, cas où une conique 

 est l'ensemble de deux droites, ou l'ensemble de deux points qui représen- 

 tent les sommets d'une conique infiniment aplatie. La question du contact 

 est bien sujette aussi à ces difficultés, si on se sert de certaines propriétés 

 qui se sont sans doute offertes les premières à l'esprit; mais il est un 

 théorème, qui s'applique au contact de courbes d'ordre quelconque, et qui 

 est affranchi de ces difficultés; et il suffit seul pour conduire immédiate- 

 ment au but ; tellement que cette question des contacts, qui n'exige pas la 

 connaissance d'autres théorèmes, devient la plus simple. 



» Lorsqu'on connaît les propriétés des systèmes de sections coniques 

 satisfaisant à quatre conditions données, dont on aura à se servir dans le 

 cours d'une question, la marche à suivre est toujours la même. 



» Ces propriétés, qu'il faut connaître, s'expriment toutes en fonction 

 de deux quantités, disons de deux éléments de chaque système, lesquels sont 

 toujours les mêmes d'espèce, et ne varient que numériquement. Ces deux 

 éléments constants sont le nombre des coniques du système qui passent 

 par un poini quelconque, et le nombre des coniques qui touchent une 

 droite. Ils dépendent des quatre conditions communes à tout le système; et 

 c'est de ces éléments que dérivent les solutions de toutes les questions. 

 Nous appellerons ces éléments les caractéristiques du système de coniques 

 auquel ils appartiennent. Par exemple, dans le système de coniques qui pas- 

 sent toutes par quatre points, les caractéristiques sont i et 2, parce qu'une 

 seule conique j)asse par un point donné, et qu'il en existe deux qui touchent 

 une droite. Dans le système de coniques passant par trois points et tan- 

 gentes à une conique, les caractéristiques sont 6 et 12, parce que six coni- 

 ques passent par un point donné, et que douze coniques touchent tine 

 droite. 



» Nous représenterons les deux caractéristiques d'un système par les 

 lettres ^ et v. Désignant aussi les quatre conditions du système par Z, Z', 

 Z", Z", nous écrirons, pour exprimer que [j., v en sont les caractéristiques, 



(Z, Z', Z", Z'") = (^, v). 



» La marche que nous suivrons dans la recherche du nombre des solu- 

 tions d'une question déterminée par cinq conditions implique une construc- 

 tion théorique de la question. Mais on ne s'étonnera pas que la solution 

 finale demande plusieurs constructions subsidiaires, qui résolvent successi- 

 vement des questions d'un ordre différent. 



