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» Une opération principale, dans le cours d'une solution, est la détermi- 

 nation des caractéristiques de divers systèmes que l'on a à considérer suc- 

 cessivement. La manière de procéder dans cette recherche se renouvelle 

 plusieurs fois, appliquée à des systèmes qui dérivent les uns des autres; il 

 en résulte une certaine longueur de raisonnements, qu'il paraît difficile 

 d'éviter. 



» Avant de décrire ce procédé général de solution, nous allons faire 

 connaître les propriétés des systèmes de coniques satisfaisant à quatre con- 

 ditions. Ces propriétés impliquent dans leur expression les caractéristiques, 

 et servent à les déterminer, amsi que nous l'expliquerons; on en conclut 

 ensuite le nombre des solutions de chaque question. 



paupRiÉTÉs d'un système de coniques (ft, v). 

 Lieux géométriques. 

 » I. Le tien des pôles d'une droite est une courbe d ordre v. 

 » Corollaire. Si la droite est à l'infini, le théorème prend cet énoncé : 

 » Le lieu des centres des coniques est une courbe d'ordre v. 

 » II. Dans le cas où les coniques du système {ix, v) passent toutes par 

 deux points, en satisfaisant à deux autres conditions : le lieu des pôles de la 



droite qui joint ces points est d' ordre — 



» Corollaire. Et si les deux points sont à l'infini : le lieu des centres 

 des coniques du système (fji, v) e*'^ une courbe d'ordre — 



» III. i" Si de deux points Q, Q' on mène des tangentes à chaque conique 

 d'un système (fi, v), les points d'intersection de ces tangentes sont sur une courbe 

 d'ordre 3 v, qui a deux points multiples d'ordre v, en Q et Q'. 



» 2° Si les coniques du système (p., v) sont toutes tangentes à la droite QQ', 

 In courbe, lieu des points de rencontre des deux tangentes menées de Q et Q' à 



chaque conique, est d ordre ( - -f- v j» et a deux points multiples d'ordre - en 



Q et Q'. 



» Corollaires. Si Q et Q' sont imaginaires, à l'infini, sur un cercle, les 

 points d'intersection des tangentes sont les foyers des coniques. Donc : 



» i" Le lieu des foyers des coniques d'un système (jj., v) est une courbe d or- 

 dre 3v, qui a deux points multiples d'ordre v, à l'infini, sur un cercle. 



» 9." Le lieu des foyers d'un système [^j., 'j) de paraboles est une courbe 



d' ordre {-+ v\ qui a deux points multiples d'ordre - imaginaires, à l'infini, 



sur un cercle. 



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