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)) Z' Avoir un fojer sur une courbe d'ordre p. 



» Z" Elre semblable à une conique donnée U. 



» Z'" Quune directrice soit tangente à une courbe de ta classe q. 



.. La première opération est le calcul des caractéristiques du premier des 

 quatre systèmes {a) ; ces caractéristiques sont les nombres des coniques 

 qui, dans les deux systèmes (i) et (2), satisfont à la condition Z. Car 

 si N coniques du système (1), dont toutes les coniques passent par quatre 

 points, satisfont à la condition Z: réciproquement, N coniques, dans le 

 système (3p., Z), passent par un quatrième point pris arbitrairement. 

 Donc N est la caractéristique ix de ce système. Pareillement, le nombre N' 

 des coniques qui, dans le système (2), touchent une droite, exprime la 

 caractéristique V du système (3 p., Z). 



» La condition Z est de toucher une courbe d'ordre m, Z„ ; on a donc, 

 d'après le théorème (XI, Coroll.), 



N (4p., Z,„) = ;n(m+ i), 

 ]V['(3p., id.,Z,„) = :im{m+ i). 

 )) Donc 

 (6) (3p.,Z;„)EHZE[/H(w-t- 1), o.m{m + t)]. 



» On détermine semblablement les caractéristiques du système (2 p ., i d . , Z,„) 

 au moyen des formules (2) et (3); celles de (1 p., ad., Z„), au moyen 

 de (3) et (4); et enfin celles de (3d., Z„), au moyen de (4) et (5). On a 

 ainsi : 



C7) (2p., 1 (1.,Z„)eee[2?w(w4- i), 4'"']; 



(8) (ip.,ad.,Z,„) = [4w-, 2w(a77i — 0]; 



(9) (3d., Z,„) = [2m(2m— i), m{im— 1)]. 



)) Les coniques, pour seconde condition, doivent avoir un foyer sur une 

 courbe d'ordre p, Z' . 



» Il faut calculer les caractéristiques des trois .systèmes [b). Celles du pre- 

 mier système (a p., Zm,Z' )sontlesnombresN(3p.,Z„,Z^),N'(ap.,id.,Z„„Z^). 

 Ces nombres se concluent du théorème (III, CorolL, i") appliqué aux 

 systèmes (6) et (7). On a 



N = 2 . 3m(w -f- 1) ./7, 

 N'= 3.4/«V- 



C. R., 1864, 1" Semestre. (T. LVIII, N» 7.) 4° 



