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 Donc 



(i4) (id., Z„, Z^, Z") = [2.3.4.7/1=/;, 2.3.m('jw — i)/j]. 



M La quatrième condition est qu'une directrice de chaque conique soit 

 tangente à une courbe de la classe q. On cherche combien de coniques 

 satisfont à cette condition dans les deux systèmes (i3) et (i 4). Pour cela, 

 on se sert du théorème (XXV), et l'on obtient 



N (ip.,Z„, Zl,, Z", Z;') = [a. a. s». 3. m. (m + i)p + 1.?, .li.m'p]q, 



W (id., Z„, Z;, Z", Z;,) = [(2.2 .3.4.mT + ^ • 3 .m(2/« - i)^]^. 



On a donc 



(Z„, Zp, Z", Zp = [24.7K/3(/(2OT - i), 6.mjjq{iom— i)]. 



Telles sont les caractéristiques du système proposé. 



» On s'en servira pour déterminer immédiatement le nombre des co- 

 niques qui satisfont à une cinquième condition. 



» Demande-t-on, par exemple, que les coniques aient leurs centres sur 

 une courbe donnée d'ordre r : leur nombre sera, d'après le théorème 

 (I, CorolL), 



6.mpqr{ïom — i). 



» Observation. — Si, au lieu de demander qu'une directrice soit tangente 

 à ime courbe d'ordre r, on veut que la normale d'une conique du système, 

 en un point (indéterminé) où cette conique coupe une droite donnée, soit 

 tangente à une courbe d'ordre r, le nombre des solutions restera le même; 

 et pareillement, si, au lieu de cette condition, on demande que la normale, 

 en un des points où une conique coupe une courbe d'ordre r, passe par 

 un point donné. Cette égalité du nombre des solutions pour trois conditions 

 différentes résulte de l'expression (2|x + v) qui se reproduit dans les théo- 

 rèmes (VIII, XXII, XXV). 



n Ajoutons enfin que si, au lieu de ces conditions, on demandait que les 

 courbes eussent un sommet sur une courbe d'ordre /•, le nombre des so- 

 lutions serait doublé en vertu du théorème (IX). 



» Il est beaucoup de questions où entrent des conditions différentes, 

 et qui, néanmoins, ont un même nombre de solutions. 



» La première condition, dans la question que nous venons de prendre 

 pour exemple delà méthode, a été que les coniques soient tangentes à une 

 courbe d'ordre m. Si l'on demande qu'elles soient tangentes aussi à 



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