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 mêmes conditions se trouveront remplies pour les fonctions F et O, et on 

 pourra leur appliquer la formule (i), qui se réduit ici à 



F{a) _ F'(a4-9A) 

 $(«) "~ <!>'(« -+-eA)' 



parce que F(fl + ^) == o et 0(a -t- /i) = o. Il en résulte immédiatement 



o(a + /i) — ip(a) — /io' a) — ... aUa] ^ 



1.2. . .y 



relation dont la formule (i) n'est qu'un cas particulier. 

 » .Si maintenant on pose 



/(« + /O -/(«)- ^/' (a) -..- .^-^^/«(«) = R„ , 

 j équation (2) pourra s'écrire 



En attribuant à la fonction arbitraire 9 telle forme qu'on voudra (satis- 

 faisant aux conditions ci-dessus énoncées), on aura tout autant d'expres- 

 sions du reste de la série Taylor. L'équation (3) est donc la formule générale 

 de ce reste. 



» Par exemple, si l'on y fait ç (jr) = (x — a)'''*'' , on trouve 



_ 1.2...? (i-cy-^ h^ ,.„^, r.r,^ 



OÙ p et q sont indéterminés ; mais çj doit être entier et inférieur au nombre 

 positif (/î + i). On peut ainsi obtenir bien des expressions nouvelles du 

 reste. 



» En particulier, pour ç = />, 



" 1.1. . .n[p + \)-' ^ '^ 



formule que j'ai donnée (*) pour représenter à la fois les deux formes 

 usuelles. En effet elle reproduit, pour /> = « et pour /? = o, le reste ordi- 

 naire et celui de Cauchy. 



(*) Journal de M. Liouville, i858. 



