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 (les formules précédentes : 



1.2... (^^ — l)I • '' 1.2. 3. ...y' », I 



Dans cette équation on a posé 



et q désigne le degré de '| (x). Cette formule se prête à luie vérification 

 assez élégante qui peut lui servir de démonstration. 



» Rien n'empêche de supposer la série prolongée à l'infini par les termes 



, /''7"+') '^"'""^'^^'""' P"'^^"^ |''"^"(-^), 'J>''^''(ar),... sont nulles. 

 Or, la substitution de cette série à la place de ^ dans l'expression Q donne 

 une expression linéaire entre '| (x) et ses dérivées, telle, que le coefficient 

 de la dérivée d'indice r sera le même que celui du terme qui contient a avec 

 l'exposant / dans la multiplication de (p(a) par la série : 



F (o) -\ !^ a -\ ^-' a.- H H a? + .... 



^ ' I 1.2 1.2.3 



Comme cette série est égale à F (a), son produit par (p(a) donnera l'unité. 

 Donc la substitution de la première série dans Q donnera identiquement 

 (j^(x) pour résultat. 



» Si y (a) contient le facteur a à une certaine puissance, que je désigne 

 par p., F(o), F'(o),..., F<'''(o) sont des quantités infinies, et la formule 



n'est plus applicable. Mais elle s'applique à - — > et donne, si l'on pose 



j =f[o) r ^ [x] dxp + -^ r '■'<]> {x)(fxp-' + ... 



+ ~ -^'l'M H T^—^i'i^)-^•■■^ 



Cette série et la précédente, dans le cas où ij>(j:) n'est pas un polynôme, 

 donneront des solutions particulières de l'équation 



si elles sont convergentes. 



