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» Corollaire. — Sii les rayons homologues des deux faisccnux homo- 

 graplîiques, qui joignent un point du plan de la figure aux points homo- 

 logues situés sur la droite à l'infini, sont également inclinés sur une droite 

 fixe, on donne au théorème cet énoncé : 



» Théorème III. — Le lieu iCnn point tel, que son axe harmonique relatif 

 à U fasse, avec Cune des tangentes en ce point aux courbes du système qui y 

 passent, un angle dont la bissectrice soit jmrallèle à une droite fixe, est une 

 courbe du degré (mp. + v), qui a m points multiples de l'ordre p. à l'infini. 



» Chacune de ces courbes d'ordre [nip -\- v) coupe U en m{mp. -+- v) 

 points, dont chacun est tel, que les tangentes en ce point à la courbe U et 

 à l'une des courbes du système qui y passent font entre elles un angle de 

 grandeur donnée (dans un sens déterminé) ou un angle dont la bissectrice 

 a une direction donnée. Donc : 



)i Théorème IV. — Dans un système {p., v) de courbes d'ordre quelconque, 

 il existe m(mp, + v) de ces courbes, qui coupent une courbe donnée U du 

 degré m, sous un angle donné de grandeur et de sens de rotation. 



» Théorème V. — Il existe, dans le même système, m{mp -\- v) courbes, 

 qui coupent U sous un angle dont la bissectrice est donnée de direction. 



» Par exemple^ si le système se compose de droites issues d'un même 

 point, on retrouve les propositions suivantes qui sont coiniues : 



» Théorème VI. — Par un point donné, on peut mener m^ droites qui ren- 

 contrent une courbe donnée, sous un angle donné, ou sous un angle dont In bis- 

 sectrice ail une direction donnée. 



)i Car, dans un tel système, on a évidemment |Ji=i et v = o. Si, les 

 courbes du système étant quelconques, c'est la courbe U qui devient une 

 ligne droite, on retrouve le théorème suivant, énoncé par M. Chastes 

 dans une de ses dernières communications : 



» Théorème VII. — Parmi les courbes d'un système, il en existe (p. + v) 

 qui coupent une droite donnée sous un angle donné de grandeur et de sens de 

 rotation. 



» Quand les courbes du système sont des coniques, on peut, dans tous 

 les cas, calculer les valeurs numériques des caractéristiques p., v. On par- 

 vient ainsi, de proche en proche, eu suivant la marche tracée par 

 M. Chasies, dans sa communication du 7 mars, potu- le cas où la courbe U 

 est elle-même une section conique, à la formule suivante, qui expiime le 

 nombre des coniques qui coupent cinq courbes données d'ordre quelconque 

 sous des angles donnés, qui peuvent varier de l'une à l'autre de ces courbes, 

 ou sous des angles dont les directions des bissectrices soient données rela- 



