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PBOFRIÉTÉS d'un SYSTÈME DE SURFACES (fi, v, ù). 



Lieux géométriques. 

 » I. Le lieu des pôles d un plan, relatifs aux surfaces d'un syslème (f/., v, /j), 

 est une courbe à double courbure du degré p. 



» Corollaires. Si le plan est à l'infini, et que les surfaces soient du 

 second ordre, le théorème prend cet énoncé : 



» Le lieu des centres des suif aces du second ordre d'un système (p., v, p) est 

 une courbe gauche de l'ordre p. 



» Si les surfaces forment un faisceau, c'est donc une courbe du troisième 

 ordre; et c'est une simple ligne droite, si elles sont inscrites dans luie même 

 développable. 



» II. Le lieu des pôles des plans qui passent par une même droite^ relatifs à 

 un système [p., v, p), est une surface d' ordre v. 

 » On peut dire aussi cpie : 



» Le lieu des courbes gauches polaires de la droite donnée, relatives aux sur- 

 faces du système^ est une surface d ordre v. 



» Corollaires. Si les surfaces sont du second degré, et que la droite soit 

 jjrise à l'infini : 



» Le lieu des sommets des cônes circonscrits aux sur/aces d'un système du 

 second ordre, le long de sections planes parallèles entre elles, est une surface de 

 l'ordre y; et, si ces surfaces passent par la même courbe d'intersection, ou 

 si elles sont inscrites dans une même développable : 



» Le lieu des polaires d'une droite fixe, par rapport à ces surfaces, est un liy- 

 perboloide à une nappe. 



» III. Le lieu des points de contact des plans tangents menés, par une même 

 droite, à toutes les surfaces d'un système ( p., v, p), est une courbe à double cour'- 

 bure de l'ordre (v + p), qui coupe vfois la droite donnée. 



» Ou encore : Le lieu d'un point tel, que le plan tangent, en cepoint, à l'une 

 des surfaces du système qui y passent, contienne une droite donnée, est une courbe 

 gauche de l'ordr^eiv + p)- 



« IV. Le lieu d'un point tel, (pie le plan langent à l une des surfaces qui y 

 passent traverse un point fixe, est une surf ace du degré (jH -)- v). 



i> D'où l'on conclut que : Le lieu des points d'un plan oii ce plan coupe or- 

 thogoiiidement des surfaces du syslème, est une courbe du degré {[J. + v). 

 » On peut donner au théorème IV un autre énoncé, savoir : 

 » V. Si, par un point P, on mène les cônes tangents à toutes les surjaces d un 

 système (|x, v, p), le lieu des courbes de contact est une surface du degré (fA -l- v), 

 qui a un point d'ordre p. en P. 



