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» On conclut, par exemple, de ce théorème, que : 



» Le lieu des coniques diamétrales, conjuguées à une direction donitée, dans 

 un faisceau de surfaces du second ordre, est une surface du troisième degré. 



n VI. Le lieu d'un point tel., que la droite qui le joint à un point fixe, et le 

 plan tangent, en ce point, à l'une des surjaces du sjstème qui j passent, coupent 

 un plan donné en un point et suivant une droite, qui soient pôle et polaire l'un de 

 l'autre par rapport à une conique située dans ce plan, est une courbe gauche de 

 l'ordre [2(|:j!, + v) 4- p]. 



» VII. En supposant que la conique du théorème précédent soit le cercle 

 imaginaire situé à l'infini, ce théorème prend l'énoncé ci-après : 



» Le lieu des pieds des normales, abaissées d'un point fixe sur les surfaces d'un 

 système [p., v, p), est une courbe gauche du degré t. {p. -h v) -f- p, qui a un point 

 multiple d'ordre p. au point fixe. 



» VIII. Si, de deux points Q, Q', on mène les cônes tangents à toutes les sur- 

 faces d'un système {p., v, p), le lieu des courbes de pénétration de ces cônes, deux 

 à deux, est une surface de l'ordre 2m(ni — i)v, qui a deux points multiples 

 d'ordre m(m — i)v en Q et en Q', et qui a la droite QQ' pour génératrice mul- 

 tiple d'ordre v. 



» Corollaire. Si les points Q, Q' sont imaginaires à l'infini sur un 

 cercle, et que les surfaces du système soient du second ordre, le théorème 

 précédent prend cet énoncé : 



» Les foyers des sections faites, dans un système de surfaces du second ordre, 

 par des plans parallèles à un plan fixe, sont situés sur une surjaçe d'ordre 4 v, qui 

 a deux points multiples imaginaires d'ordre 2V à l'infini sur un cercle, et une 

 droite multiple d'ordre y à l'infini. 



" IX. Le lieu d'un point tel, que son plan polaire, relatif à une surface du 

 degré m, et le plan tangent en ce point à l'une des surfaces d'un système qui y 

 passent, coupent un plan fixe, suivant deux droites conjuguées par rapport à tme 

 conique située dans ce plan, est une surf ace de l'ordre {mp + v). 



» Corollaire. Si laconique est le cercle imaginaire à l'infini, le théo- 

 rème donne lieu à celui-ci : 



» Les points ou les surfaces d'un système [p, v, p) coupent à angle droit une 

 surface donnée sont situés sur une courbe gauche du degré m (m|u. -I- v). 



» Le théorème IV (corollaire) est un cas particulier de ce dernier. 



1) X. Le lieu d'un point tel, que son plan polaire, relatif à une surface 

 donnée du degré m, et le plan tangent en ce point à l'une des surfaces d'un 

 système [p, v, p) qui y passent, se coupent sur une droite donnée, est une 



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