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surface du degré (m/JL-Hv), qui possède m points multiples d'ordre [x sur 

 celte droite. 



» XI. Le lieu d'un point tel, que son plan polaire relatif à une surface 

 donnée, et le plan tangent en ce point à l'une des surfaces d'un système (p., v, p) 

 qui y passent, se coupent sur un plan donné, est une courbe à double courbure 

 du degré [m(tn — i)/jt + mv -+- p]. 



» On conclut directement de ce théorème les deux propositions s\ii- 

 vantes : 



» XII. Le lieu d'un point qui a même plan polaire, dans la surface donnée, 

 et dans l'une des surfaces du système, est une courbe à double courbure de l'ordre 

 [fi (m — 1 )" + V ( m — 1 ) + ij] . 



» XIII. Le nombre N des surfaces d'un système {p., v, p), qui touchent une 

 sutfnce donnée du degré m, est donné par la formule 



N = m[p.(ni — I )^ + v(m — i) + p]- 



» Corollaires. i° Si »z = i, N = p, comme cela doit être. 

 » 2° Si les surfaces sont des plans et forment un faisceau, la formule 

 donne 



N = m {m — i) . 



Tel est, en effet, le nombre des plans latigents qu'on peut mener, par une 

 droite, à une surface du degré m, qui n'a d'ailleurs, comme on le suppose 

 partout ici, aucune singularité autre que celles qui sont propres à toutes 

 les surfaces de ce degré. 



)i 3° Enfin, si les surfaces du système forment un faisceau de degré n, 

 on a, comme on sait. 



fj. = I ; V = 2 ( « — 1 ) ; p = 3 (n — I ) ; 

 ou 



N = ??2 ( m^ + 3 7i'^ -+- 1 mn — [\m — 8 « + 6 ) 



= m\(ni -i- 2 11 — 3)' — [n — \)[n -\- im — 3) J ; 



formule connue, donnée par MM. Moutard et G. Salmon, et par uioi-mènic 

 dans le Journal de Mathématiques, 2* série, t. VII, p. 4io. 



Surfaces envelojipes. 



» XTV. Les plans polaires d'un point, relatifs aux surfaces d'un système 

 [p., V, p), enveloppent une surface développable de la classe p., c'est-à-dire un( 



