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et généralement 



„ m [m — I ) ^ ^ 



mB,„_, H j-^ — '■ B,„_2 + . . . + //iB, -+- I = o ; 



le premier membre n'étant autre que 



(B + i)'"-B'", 



où l'on change les exposants de B en indices. 



» Il résulte de là que les B, sont les nombres de Bernoulli. Puis, luie con- 

 séquence des équations 



(f [x) — 9 (jc — i) = ma'"~' , 

 çp (j: — i) — (p[jc — 2) ^ m{jc — I )"'~' , 

 (p {jc — 2)— (j){jc — 3) = m {jl — 2)'"""' , 



9 [x — (« — i)] — ^(x — n) = m[x — {n — i)j"'~', 

 ajoutées membre à membre, c'est qu'on a, quel que soit.x, 



m [a;'"-' + (x — i)'"-' + . . . + (x - h + i )'""'] = y {a-) — ip (.r - n). 



y 



Plus généralement, en posant .r = --, on aurait 



mr\x'"-' -1- (x — r)'"-' + . . . + [x — (« — i) ;•]'"-'! =y(x) -(^[x — nr), 



où 



ff (x) = X'" - niB, rx'"-' -+■ '" ("'~'^ B^ r-x'"-" - . . . . 



» On a donc une forme, peut-être nouvelle, de la somme bien connue des 

 puissances semblables de n nombres en progression arithmétique. 

 » Le cas principal, celui de la somme 



I -^ 2'" + 3'" + 4'" + • • • -f- n" = S,„, 



conduit à la formule 



mS„ = n'" - ?«B, «"■-' + "'^"'~'^ B2«'"-= + ...± mB,„_, n. 



Ainsi, comme l'on a 



B, = — i, B3 = o, B5 = o, Bt = o, 69 = 0,..., 



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B, = ^, B,= -33, B, = ^, B«=--3' ^^«« = 63' 



