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GKOMÉTRIE. — Considérations générales sur les courbes dans l'espace. — Courbes 

 du cinquième ordre (suite des recherches, Comptes rendus, t. LIV, p. 55, 

 'J96, 672); pa?- M. A. Cayley. 



« En considérant une courbe du m"""* ordre représentée au moyen des 

 équations 



U = o, w = -, 



qui dénotent respectivement un cône du m'*'"* ordre et une surface monoïde 

 du /?'""* ordre, le cône doit passer rn{p — i) fois par \es p{p — i) droites 

 (P = o, Q = o) de la monoide. J'indique la manière de ce passage au moyen 

 d'un symbole que je nomme la signature du système; ce symbole, composé 

 ordinairement des numéros 2, 1,0, ensemble p [p — i) numéros, fait voir 

 combien des p{p — i) droites de la monoïde sont, par rapport au cône, des 

 droites doubles, des droites simples ou des droites qui ne sont pas situées 

 sur le cône : par exemple, 772 = 5, p = 3, la signature 22221 1 fait voir qu'il 

 y a quatre droites doubles, deux droites simples; la signature 222220, qu'il 

 y a cinq droites doubles, une droite qui n'est pas située sur le cône. 



» Je reviens aux courbes du cinquième ordre; j'ai établi (t. LIV, p. 672) 

 qu'il y a cinq espèces de ces courbes, à savoir : 



La courbe plane ou espèce 5 



» quadri-cubique ou espèce. . . 6 — i 



» quadri-quartique ou espèce. . 8 — 3 



« cubi-cubique (deux espèces). | ^ 



D. A. 



o 



4 



6 

 6 

 5 



Je fais abstraction de la courbe plane, et je cherche à rattacher les quatre 

 autres espèces à la théorie de la surface monoide. Pour cela je remarque 

 qu'en prenant pour sommet du cône et de la surface monoïde un point quel- 

 conque, la surface monoïde (ne pouvant pas être de l'ordre 2) sera de 

 l'ordre 3 ou 4- 



» Je considère d'abord le cas d'une monoïde cubique : la signature sera 

 22221 I ou 222220. 



n Monoide cubique, signature 22221 1. — Ici le cône U = o passe par les 

 six droites de la monoïde; donc U est fonction syzygétique de P et Q: autre- 

 ment dit, on peut trouver P' et.Q' fonctions homogènes de {x, y, z) de 

 manière à avoir identiquement U = PQ' — P'Q : P et Q sont des ordres 



